Thuộc tính đồ thị hoàn chỉnh NP là di truyền, nhưng không phải là phụ gia?

Một thuộc tính đồ thị được gọi là di truyền nếu nó đóng đối với việc xóa các đỉnh (nghĩa là tất cả các sơ đồ con cảm ứng đều kế thừa thuộc tính). Một thuộc tính đồ thị được gọi là phụ gia nếu nó được đóng đối với việc lấy các liên hiệp rời rạc.

Không khó để tìm thấy các thuộc tính là di truyền, nhưng không phải là phụ gia. Hai ví dụ đơn giản:

$\;\;\;$ (1) Đồ thị đã hoàn thành.

$\;\;\;$(2) Biểu đồ không chứa hai chu kỳ tách rời đỉnh.

Trong những trường hợp này, rõ ràng là tài sản được kế thừa bởi các sơ đồ con cảm ứng, nhưng lấy hai biểu đồ rời rạc có tài sản, liên minh của chúng có thể không bảo tồn nó.

Cả hai ví dụ trên đều là các thuộc tính có thể quyết định đa thời gian (mặc dù đối với (2) nó có phần ít tầm thường hơn). Nếu chúng ta muốn các thuộc tính khó hơn, chúng vẫn có thể được tạo bằng cách làm theo mẫu của (2), nhưng thay thế các chu kỳ bằng các loại biểu đồ phức tạp hơn. Sau đó, tuy nhiên, chúng ta có thể dễ dàng chạy vào tình huống mà vấn đề thậm chí không ở lại , theo các giả định phức tạp chuẩn như N P ≠ c o N P . Nó xuất hiện ít tầm thường hơn để tìm một ví dụ nằm trong N P , nhưng vẫn còn khó.$NP$$NP\neq coNP$$NP$

Câu hỏi: Bạn có biết một thuộc tính đồ thị -complete (tốt nhất là tự nhiên) là di truyền, nhưng không phải là phụ gia?$NP$

Tôi nghĩ rằng vấn đề che phủ -clique, hỏi xem có tồn tại một phân vùng của các đỉnh trong k bộ sao cho mỗi bộ tạo ra một cụm, có các thuộc tính mong muốn không.$k$$k$

Rõ ràng, việc sử dụng các sơ đồ con cảm ứng không thể làm tăng kích thước tối thiểu của phân vùng đó. Mặt khác, khi bạn lấy sự kết hợp rời rạc của hai biểu đồ, bạn phải lấy sự kết hợp của phân vùng thành các cụm của mỗi biểu đồ.

Xem xét vấn đề này

Cho một đồ thị quyết định xem bộ đỉnh của nó có thể được phân chia thành hai bộ khác nhau sao cho các đồ thị cảm ứng được tạo bởi các cống thể hiện tính chất P và Q , đã hoàn thành NP$G$$P$$Q$ .

Nó vẫn hoàn thành NP ngay cả khi các thuộc tính là di truyền.

Bây giờ rõ ràng một giải pháp của vấn đề trên cho một biểu đồ cũng cung cấp giải pháp cho các sơ đồ con cảm ứng. Nhưng khi kết hợp các đồ thị cùng họ với G có thể không được giải bằng cách sử dụng giải pháp đó.

Ví dụ, phân vùng đồ thị chung trong các đồ thị khoảng cách đơn vị khác nhau là NP hoàn thành nhưng khi lấy liên kết của tất cả các cạnh có thể (làm cho đồ thị hoàn thành) giải quyết vấn đề một cách tầm thường.

Xác định số bìa chu kỳ của đồ thị là số chu kỳ tối thiểu C 1 , Lít , C m sao cho (i) mỗi C i là đồ thị chu kỳ trên một tập con của V , (ii) mỗi cạnh của E có mặt trong một số C $G = (V,E)$$C_1,\ldots,C_m$$C_i$$V$$E$$C_i$ . Tôi phỏng đoán như sau:

$k \geq 3$$G$$k$

$k = 2$ , vấn đề là đa thức - điều này phải tuân theo "Mã Gauss, Đồ thị Hamilton Hamilton và Hoán vị xếp chồng" của Rosenstiehl và Tarjan.

Nếu (1) là đúng thì nó sẽ trả lời câu hỏi của bạn, vì nó cung cấp một thuộc tính là di truyền, nhưng rõ ràng không phải là phụ gia.

(LƯU Ý THÊM: phỏng đoán (2) khác với "phỏng đoán che phủ chu kỳ kép" của Szekeres và Seymour, mặc dù có sự đồng nhất).