Thể hiện quyết định là vĩnh viễn

Một vấn đề lớn trong TCS là vấn đề thể hiện vĩnh viễn như một yếu tố quyết định. Tôi đã đọc bài báo Xác định vĩnh viễn của Agrawal và trong một đoạn, ông khẳng định vấn đề ngược lại là dễ dàng.

Dễ dàng thấy rằng định thức của ma trận có thể được biểu thị là vĩnh viễn của ma trận có các mục nhập là 0, 1 hoặc s và có kích thước (được thiết lập các mục nhập của Xˆ sao cho det = det và sản phẩm tương ứng với mọi hoán vị có chu kỳ chẵn bằng 0). $X$ $Xˆ$ $x_{i,j}$ $O(n)$ $Xˆ$ $X$

Trước hết, tôi không nghĩ các biến 0, 1 và là đủ vì chúng ta sẽ thiếu các thuật ngữ phủ định. Nhưng ngay cả khi chúng tôi cũng cho phép các biến -1 và , tôi không hiểu tại sao sự tăng trưởng về kích thước có thể được thực hiện tuyến tính. Ai đó có thể vui lòng giải thích việc xây dựng cho tôi? $x_{i,j}$ $-x_{i,j}$

— Farnak
nguồn

Lưu ý rằng anh ta nói

, không phải

cung cấp các dấu hiệu cần thiết.

x_{i j} s

$x_{ij} s$

x_{i j}

$x_{ij}$

s = \pm 1

$s = \pm 1$

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving, cách giải thích đó dường như không đúng với tôi ... theo như tôi có thể nói, "s" là kiểu chữ trong chế độ văn bản, không phải chế độ toán học; "S" không bao giờ được định nghĩa là một biến; và "s" không được lập chỉ mục bởi bất cứ điều gì. Tôi nghĩ rằng nó chỉ chỉ số nhiều.

— usul

Tôi nghĩ @usul là chính xác. anh ấy sử dụng 's' như một số nhiều (tức là nhiều

x_{i j}

$x_{ij}$

— Suresh Venkat

Tôi nên chỉ ra rằng các thuật ngữ phủ định liên quan đến dấu hiệu hoán vị được xử lý bằng nhận xét của anh ấy nói rằng bạn thiết lập ma trận sao cho các thuật ngữ liên quan đến chu kỳ chẵn giảm xuống không.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Nghe có vẻ nói dễ hơn làm (ít nhất là với tôi). Bạn có thể vui lòng chứng minh điều này khi nói, một ma trận 4 x 4?

— Farnak

Tôi nghĩ rằng đây có thể là một lỗi đánh máy trong bài báo của Agrawal. Điều tốt nhất tôi biết là làm thế nào để viết một định thức dưới dạng hình chiếu của một vĩnh viễn có kích thước , bằng cách viết định thức này như một chương trình phân nhánh đại số (và tôi nghĩ rằng đây hiện đang được biết đến nhiều nhất). Xem các ý kiến về câu trả lời này . $n \times n$ $O(n^3)$

— Joshua Grochow
nguồn

ABP là gì?

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Tôi đã cập nhật câu trả lời với tên đầy đủ của họ và liên kết đến các tài liệu tham khảo khác. Nếu bạn có thắc mắc về ABP, vui lòng gửi ở đây hoặc gửi email cho tôi.

— Joshua Grochow