Máy Turing mà chấm dứt là không thể chứng minh?

Tôi có một câu hỏi ngây thơ: có tồn tại một máy Turing mà sự chấm dứt của nó là đúng nhưng không thể chứng minh được bằng bất kỳ lý thuyết axiomatizable tự nhiên, nhất quán và hữu hạn nào không? Tôi yêu cầu một bằng chứng tồn tại đơn thuần hơn là một ví dụ cụ thể.

Điều này có thể có một số kết nối với phân tích thứ tự . Thật vậy, đối với một máy Turing , chúng ta có thể định nghĩa là thứ tự tối thiểu của một lý thuyết nhất quán chứng minh sự chấm dứt của nó (hoặc tối thiểu của các quy tắc này). Vì vậy, tôi đoán nó sẽ là tương đương với câu hỏi liệu có tồn tại mà ? $M$ $O(M)$ $M$ $O(M) \geq \omega_1^{CK}$

turing-machines proof-theory halting-problem

— Siêu 8
nguồn

Không nên định lượng theo cách khác? Chỉ cần thêm vào TM X tạm dừng là một tiên đề sẽ phù hợp với bất kỳ X nào thực sự dừng trên tất cả các đầu vào (và hữu hạn nếu bạn làm điều đó chỉ với TM trong câu hỏi). Với các bộ định lượng được đảo ngược, làm thế nào về một TM tạm dừng nếu đầu vào không phải là bằng chứng về tính nhất quán cho hệ tiên đề và đi vào một vòng lặp vô hạn.

— Yonatan N

Đề nghị của bạn là thú vị, cảm ơn. Tôi đã nhận thức được mối quan tâm của bạn khi đặt câu hỏi, đó là lý do tại sao tôi thêm "tự nhiên" vào các yêu cầu. Tất nhiên, vấn đề là liệu chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa chính thức về "sự tự nhiên" sẽ loại trừ việc xây dựng nhân tạo này hay không.

— Super8

Nghĩ rằng câu trả lời là không bởi vì nếu nó dừng lại, thì người ta chỉ chạy máy và nó sẽ dừng một số bước hữu hạn, và đó là một bằng chứng, và thực tế đó có thể được chuyển đổi thành bất kỳ hệ thống chứng minh hợp lý nào. mặt khác nghĩ rằng có thể mã hóa / chuyển đổi / dịch thm không thể chứng minh của thel thành một cỗ máy không dừng mà không dừng lại là không thể chứng minh được. Câu hỏi này tương tự, có một TM dừng lại trên tất cả các đầu vào nhưng thuộc tính không thể chứng minh được cs.se

— vzn

M

$M$

G (n)

$G(n)$

n

$n$

0

$0$

M

$M$

Cảm ơn, tôi không biết những mục đó. Mặc dù vậy, điều tôi đang hỏi là mạnh mẽ hơn, tôi muốn không thể cung cấp bất kỳ lý thuyết hợp lý nào (hơn là một lý thuyết cụ thể như PA). Tôi không chắc chắn nếu câu hỏi có một câu trả lời chắc chắn.

— Super8

Câu trả lời:

$\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$

$\Pi^0_2$ $Q$

— Kaveh
nguồn

Vâng, tôi đã tìm kiếm toàn bộ, vì tất nhiên vấn đề là không đáng kể cho một đầu vào cố định. Tôi sẽ suy nghĩ về yêu cầu của bạn và làm thế nào để chứng minh điều đó, nhưng tại thời điểm này tôi không thấy cách xem xét các lý thuyết "tính toán axiomatizable" quy định vấn đề nói trên? Ngoài ra, trong tuyên bố của bạn, TM phụ thuộc vào lý thuyết được xem xét, chúng ta có thể nhận được tuyên bố mạnh mẽ hơn của tôi bằng một số loại đường chéo không?

— Super8

Đây là một cách dễ dàng: tập hợp các hàm có thể tính toán tổng thể có thể chứng minh được của lý thuyết đó là ce, tập hợp các hàm tính toán tổng thể không phải là ce, hoặc thay vào đó, bạn có thể chéo với các hàm có thể chứng minh được của lý thuyết.

— Kaveh

σ

$\sigma$

α

$\alpha$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$

α

$\alpha$

M

$M$

O (M)

$O(M)$

α

$\alpha$

M

$M$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ (tức là hệ thống ký hiệu có thể được tự do lựa chọn). Liệu định nghĩa này có ý nghĩa?

— Super8

@ Super8, tôi không chắc. Nói chung, sự liên kết của các chức vụ với các lý thuyết là không chính tắc, có nhiều cách khác nhau để liên kết để làm điều đó. Bạn có thể bắt đầu với một lý thuyết yếu như PRA và thêm cảm ứng vào các quy tắc tính toán với các chuỗi cơ bản tốt đẹp, v.v. nhưng tôi không chắc tại sao bạn lại muốn làm như vậy.

— Kaveh

Ok, tôi đã không nhận ra vấn đề, sau đó tôi sẽ cố gắng tìm một định nghĩa tốt hơn.

— Super8

Tôi không phải là một chuyên gia logic, nhưng tôi tin rằng câu trả lời là không . Nếu máy Turing tạm dừng và hệ thống đủ mạnh, bạn phải có thể viết ra toàn bộ lịch sử tính toán của máy Turing trên đầu vào của nó. Khi một người xác minh rằng kết quả tính toán là một chuỗi kết thúc chuyển tiếp, người ta có thể thấy rằng máy dừng lại. Bất kể bạn chính thức hóa máy Turing như thế nào trong lý thuyết của mình, bạn nên có thể chỉ ra trong bất kỳ lý thuyết hợp lý nào rằng một máy dừng thực tế lại dừng lại. Bằng cách tương tự, hãy nghĩ đến việc cố gắng chứng minh rằng một tổng hữu hạn bằng với giá trị của nó bằng; ví dụ: chứng minh rằng 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42 hoặc 5 + 5 + 5 = 15. Cũng như điều này luôn luôn có thể miễn là số bước là hữu hạn, do đó cũng đang chứng minh kết quả của một tính toán hữu hạn.

Cũng giống như một điểm rõ ràng bổ sung - ngay cả khi lý thuyết của bạn không nhất quán, bạn vẫn có thể chỉ ra rằng máy dừng lại, thực tế ngay cả khi không, vì bạn có thể chứng minh bất kỳ wff nào trong một lý thuyết không nhất quán, bất kể nó có hay không thực sự đúng

— Philip White
nguồn

Tôi đồng ý với điểm đầu tiên của bạn, xem trả lời của tôi dưới đây. Liên quan đến điểm thứ hai của bạn, một lý thuyết không nhất quán cũng sẽ chứng minh việc chấm dứt một TM (thực sự không phổ biến), từ đó hạn chế các lý thuyết nhất quán.

— Super8

Tôi nghĩ rằng chúng ta đang nói điều tương tự; Tôi chỉ nhận thấy rằng bạn nói "nhất quán" trong câu hỏi, xin lỗi vì đã bỏ lỡ điều đó. Tôi nghĩ rằng câu trả lời của Kaveh bao gồm tất cả những điều tương tự và dù sao cũng được viết thanh lịch hơn.

— Philip White