Định lý tự nhiên chỉ chứng minh được với mức xác suất cao?

Có rất nhiều tình huống trong đó một "bằng chứng" ngẫu nhiên dễ dàng hơn nhiều so với một bằng chứng xác định, ví dụ điển hình là kiểm tra nhận dạng đa thức.

Câu hỏi : Có bất kỳ "định lý" toán học tự nhiên nào trong đó một bằng chứng ngẫu nhiên được biết nhưng một bằng chứng xác định thì không?

Bằng một "bằng chứng ngẫu nhiên" của một tuyên bố $P$ Tôi có nghĩa là

Có một thuật toán ngẫu nhiên mà phải mất một đầu vào $n > 0$ và nếu $P$ là sai tạo ra một bằng chứng xác định của $\neg P$ với xác suất ít nhất $1-2^{-n}$ .
Ai đó đã chạy thuật toán cho, giả sử, $n = 100$ và không từ chối định lý.

Thật dễ dàng để tạo ra các câu lệnh không tự nhiên phù hợp: chỉ cần chọn một ví dụ lớn cho bất kỳ vấn đề nào trong đó chỉ có một thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả được biết đến. Tuy nhiên, mặc dù có rất nhiều định lý toán học với "rất nhiều bằng chứng số", chẳng hạn như giả thuyết Riemann, tôi không biết bất kỳ bằng chứng ngẫu nhiên nghiêm ngặt nào về dạng trên.

— Geoffrey Irving
nguồn

@Kaveh: Cảm ơn đã sửa chữa danh mục. Tôi không chắc chắn những gì để đặt nó dưới.

— Geoffrey Irving

một hướng khác, nghiên cứu văn học "derandomization" (tìm kiếm khảo sát tốt). không phải là định lý Reingold tương đối gần đây (đã giành giải thưởng) cũng là một trường hợp này (một lần nữa trước khi chứng minh)?

— vzn

Vâng, bất kỳ vấn đề nào với bằng chứng xác định dựa trên ERH (như Primes đã từng) sẽ có tài sản này

— Suresh Venkat

Tôi rất tiếc phải nói nhưng tôi không nghĩ câu hỏi của bạn có ý nghĩa, vì không thể có bất kỳ tuyên bố nào như vậy, tự nhiên hay không. Bạn viết rằng N là một số nguyên tố từng là một ví dụ tốt nhưng (tất nhiên) luôn có một bằng chứng xác định cũng như tính nguyên thủy, chỉ lâu hơn một chút. Tôi cũng không thể tưởng tượng làm thế nào bạn sẽ xác định xác suất thành công của một thuật toán được cho là để từ chối một tuyên bố sửa lỗi. Có thể bạn muốn yêu cầu một bằng chứng hiệu quả cho một loại vấn đề (nghĩa là đầu vào sẽ là P và n và câu lệnh P (n)) nhưng sau đó chúng ta đi đến lý thuyết phức tạp và định nghĩa về BPP.

— domotorp

domotorp: Đúng là (giả sử thuật toán sử dụng số lượng bit ngẫu nhiên giới hạn), bất kỳ bằng chứng ngẫu nhiên nào như vậy đều có thể bị biến thành một số chi phí hiệu năng. Tuy nhiên, tôi đang hỏi về các ví dụ trong đó chi phí hiệu suất đủ cao để bằng chứng xác định chưa được chạy cho đến nay, trong khi bằng chứng ngẫu nhiên có. Tôi tin rằng các định nghĩa có ý nghĩa trong bối cảnh này.

— Geoffrey Irving

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ Đây không phải là một ví dụ về những gì bạn đang yêu cầu, nhưng nó cho thấy làm thế nào một ví dụ như vậy có thể xảy ra. Một số danh tính tổ hợp có thể được mã hóa thành danh tính về đa thức bậc giới hạn . Nếu đa thức là đơn biến, để chứng minh danh tính thì đủ để xác minh nó trên điểm. Tuy nhiên, nếu đa thức là đa biến và mức độ ít nhất là vừa phải, bổ đề Scwartz-Zippel có thể là cách thực tế duy nhất để xác minh danh tính. $d$ $d+1$

Để biết ví dụ về trường hợp đơn biến, hãy xem bài viết này của Zeilberger, giải quyết một câu hỏi của Knuth. Ông chứng minh một tuyên bố về thống kê hoán vị. Để hoán vị , gọi là số các đảo của , và để cho các chỉ số lớn của $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ là tổng của tất cả các số nguyên trong tập . Zeilberger chứng minh rằng, với tất cả , hiệp phương sai của hai thống kê là $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

nơi mà tất cả mong đợi hơn một thống nhất ngẫu nhiêntrong. Bằng chứng của Zeilberger chỉ là một xác minh máy tính cho, và một quan sát cho rằng tuyên bố này tương đương với một nhận dạng giữa các đa thức ởmức độnhiều nhất là.

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Sasho Nikolov
nguồn

Cảm ơn, đó là một bài viết đáng yêu. Tôi khá thích đạo đức.

— Geoffrey Irving