Trực giác: Chuyển động theo chu kỳ lẻ trong đồ thị không có hình tam giác

Tôi phỏng đoán rằng nếu là một đồ thị không có hình tam giác đơn giản, thì có một tập hợp tối đa 2/25 cạnh mà việc xóa sẽ phá hủy mọi chu kỳ lẻ. $G$ $n^2/25$

Để biết thêm thông tin, hãy xem bài viết năm 1988 của Erdös và cộng sự, Cách tạo một đồ thị Bipartite .

Câu hỏi 1: Điều này có đúng với trực giác của bạn không?

Câu 2: Độ phức tạp của việc đếm số chu kỳ lẻ trong đồ thị là gì? Có thuật toán hiệu quả để làm điều đó?

graph-theory

— Rupi Xu
nguồn

Trực giác của tôi nói rằng bạn cần nhiều hơn thế (xem xét biểu đồ của 3 nhóm đỉnh sao cho có tất cả các cạnh , chưa nghĩ đến nó). Một là một ràng buộc trực quan hơn nhiều. Nhưng trực giác của tôi cũng nói: "Nếu Erdös nói như vậy, thì nó phải là sự thật :)". Đếm các chu kỳ đơn giản có độ dài chính xác là #W [1] -hard (đối với ), nhưng có thể có một cách dễ dàng hơn để tìm tất cả các chu kỳ lẻ.

n / 3

$n/3$

V_{1}, V_{2}, V_{3}

$V_1,V_2,V_3$

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{1}

$V_1 \to V_2 \to V_3 \to V_1$

n^{2} / 9

$n^2/9$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

— RB

@RB Đây đã là một câu trả lời.

— Yixin Cao

Trên thực tế, tôi hoàn toàn bỏ qua phần không có hình tam giác: o. Đối với các biểu đồ như vậy, trực giác của tôi nói rằng đó là sự thật và chặt chẽ (xem xét cho phân vùng bằng nhau .

V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to V_{4} \to V_{5} \to V_{1}

$V_1\to V_2\to V_3\to V_4\to V_5\to V_1$

V_{1}, . ., V_{5}

$V_1,..,V_5$

— RB

Rupei thân mến, có hai phỏng đoán nổi tiếng của erdos trong đó biểu đồ được đề xuất bởi RB (và có lẽ bạn cũng có ý định) được cho là đưa ra giá trị cực đoan. Một là trên số lượng hình ngũ giác tối đa trong một đồ thị không có tam giác với 5n đỉnh và cái kia giống như phỏng đoán của bạn về số cạnh tối thiểu cần thiết để biến đồ thị không có hình tam giác thành bipartite. Tôi mơ hồ nhớ rằng một số tiến bộ đáng kể đã được thực hiện trên phỏng đoán đầu tiên gần đây nhưng có lẽ tôi đã trộn lẫn cả hai.

— Gil Kalai

@GilKalai, cảm ơn bạn rất nhiều vì những bình luận của bạn, thưa giáo sư Kalai, tôi đã tìm thấy bài báo sau đây cho thấy kết quả mà bạn muốn nói: Simonovits, Miklós. "Ảnh hưởng của Paul Erdős đối với lý thuyết đồ thị cực trị." Toán học của Paul Erdös II. Springer Berlin Heidelberg, 1997. 148-192.

— Rupei Xu

Câu trả lời:

Trực giác của tôi nói rằng nó có thể đúng và đây là một kết hợp giới hạn dưới (ví dụ: biểu đồ mà bạn phải xóa ít nhất để nó trở thành bipertite: $\frac{n^2}{25}$

$G=(V_1\cup V_2\cup V_3\cup V_4\cup V_5, (V_1\times V_2) \cup (V_2\times V_3) \cup (V_3\times V_4) \cup (V_4\times V_5) \cup (V_5\times V_1))$ ,. $|V_1| = |V_2| = |V_3| = |V_4| = |V_5|$

Biểu đồ này chắc chắn là tam giác miễn phí, nhưng nếu sẽ bị xóa thì vẫn tồn tại cho một số đỉnh . $x<\frac{n^2}{25}$ $C_5=v_1\to v_2\to v_3\to v_4\to v_5 \to v_1$ $v_1\in V_1, v_2\in V_2, v_3\in V_3, v_4\in V_4, v_5\in V_5$

Đối với câu hỏi thứ hai, ai cũng biết rằng việc đếm các chu kỳ đơn giản có độ dài là $2k+1$ $\#W[1]-hard$ , đối với và không thể được tính trong thời gian trừ khi ETH thất bại. $k$ $n^{o(k)}$

Tuy nhiên, có khả năng xấp xỉ số chu kỳ như vậy trong . $O^*(2^{O(k)})$

— RB
nguồn

"*" Có nghĩa là gì trong ? Có vẻ như chúng ta có một số hy vọng để giải quyết nó. Cảm ơn.

O * (2^{O (k)})

$O∗(2^{O(k)})$

— Rupei Xu

@Saeed - theo như tôi biết đây là những gì đại diện cho, và điều này được sử dụng trong nhiều bài báo ( ví dụ ) theo cách này. Tôi quen thuộc với những gì bạn đang đề cập đến như , đó là một cách viết ngắn cho .

O^{*} (f (k))

$O^*(f(k))$

\tilde{O} (f (n))

$\widetilde O(f(n))$

O (f (n) p o l y l o g (f (n)))

$O(f(n)polylog(f(n)))$

— RB

OK, tôi có thể thấy bài viết được liên kết của bạn nhưng không giống như cách bạn nói, nhưng ví dụ: hãy xem bài viết này: lamsade.dauphine.fr/~boria/ con / LittleerTSP.pdf , sử dụng O * theo cách tôi muốn nói, một số nhân nhỏ hơn nhiều so với công suất ban đầu, ví dụ nếu chúng ta có thuật toán n ^ 3 logn, chúng ta có thể viết nó O * (n ^ 3) hoặc O (2 ^ nn), O (2 ^ n log n), ... write nó là O * (2 ^ n), nhưng trong độ phức tạp tham số tôi chưa bao giờ thấy (hoặc tôi không bao giờ nhận thấy) rằng ai đó viết O * (f (k)) có nghĩa là O (f (k) poly (n)), tôi có thể giả sử nó là O (f (k) poly (k)) nhưng ở đâu trong O * (f (k)), mặc dù tôi có thể sai.

n

$n$

— Saeed

Tôi đoán có một số ký hiệu khác nhau được sử dụng trong độ phức tạp tham số. Một ví dụ khác có thể được nhìn thấy trong [các bài giảng về thuật toán được tham số hóa của Stanford] ( stanford.edu/~rrwill/scribe5.pdf ). Trên thực tế, tôi chưa thấy việc sử dụng ký hiệu bên ngoài độ phức tạp được tham số hóa, vì vậy cảm ơn bạn đã chú ý đến nó :).

O^{*}

$O^*$

— RB

Cảm ơn bạn đã tham khảo, thật thú vị khi thấy một ký hiệu theo các nghĩa khác nhau.

— Saeed

Một cách tiếp cận để chứng minh phỏng đoán của bạn sẽ là cố gắng sử dụng bổ đề chính quy của Szemerédi , tương tự như cách chứng minh bổ đề loại bỏ tam giác (xem ví dụ ở đây ). Tuy nhiên, tôi không biết liệu bạn có nhận được các hằng số đúng từ phương pháp này không.

— bánh bao mobius
nguồn

Trong bổ đề chính quy của Szemerédi, thông thường nó giả định một số lượng lớn các phân vùng, giá trị chính xác của phân vùng là không dễ dàng để có được. Tôi tự hỏi có lẽ nó không hoạt động ở đây.

— Rupei Xu