UGC độ cứng của vị

Bối cảnh :

Trong bài báo UGC gốc của Subhash Khot ( PDF ), ông đã chứng minh độ cứng của UG khi quyết định liệu một trường hợp CSP nhất định có ràng buộc tất cả các dạng Không bằng nhau (a, b, c) trên bảng chữ cái tạm thời thừa nhận một bài tập thỏa mãn 1 - của các ràng buộc hoặc cho dù không tồn tại các bài tập satisying của các ràng buộc, cho nhỏ tùy ý .$\epsilon$$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Tôi tò mò liệu kết quả này đã được tổng quát hóa cho bất kỳ sự kết hợp nào của các ràng buộc -ary cho và các miền biến có kích thước trong đó . Đó là,$\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Câu hỏi :

Có bất kỳ độ cứng nào được biết đến của các kết quả gần đúng cho vị ngữ$NAE(x_1, \dots, x_\ell)$ cho cho ℓ , k ≥ 3 và ℓ ≠ k ≠ 3 ? $x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Tôi đặc biệt quan tâm đến sự kết hợp của các giá trị ; ví dụ, vị Không-all-bình đẳng ( x 1 , ... , x k ) cho x 1 ... , x k ∈ G F ( k ) .$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

Tôi nhận ra rằng những gì tôi tuyên bố ở trên là trong thực tế được biết đến.

$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

$\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). Điều này dễ dàng xuất phát từ thực tế là kết quả không tương thích đã biết đối với siêu màu 2 màu cho ra một tuyên bố mật độ mạnh trong trường hợp âm thanh. Tuyên bố chính thức xuất hiện trong bài báo SODA 2011 của tôi với Ali Sinop "Sự phức tạp của việc tìm các tập độc lập trong đồ thị mức độ giới hạn (siêu) có số lượng màu thấp" (Bổ đề 2.3 trong phiên bản cuối cùng của SODA và Bổ đề 2.8 trong phiên bản cũ hơn có sẵn trên ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

Tôi đã đến trang này từ một tìm kiếm về NAE-3SAT.

$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

$k=\ell=3$

$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

Đối với trường hợp chung, tôi không biết nếu điều này đã được viết ra ở bất cứ đâu. Nhưng nếu bạn thực sự cần nó, tôi có thể tìm thấy một cái gì đó hoặc kiểm tra yêu cầu.

Prasad Raghavendra trong Bài viết hay nhất STOC'08 của mình đã chứng minh, giả sử Giả thuyết trò chơi độc đáo, thuật toán lập trình semidefinite đơn giản đưa ra xấp xỉ tốt nhất cho bất kỳ vấn đề thỏa mãn ràng buộc nào (bao gồm NAE) với các ràng buộc về số lượng biến liên tục và bảng chữ cái không đổi. Để thực sự biết hệ số độ cứng của NAE là gì, bạn cần hiểu thuật toán đơn giản thực hiện tốt như thế nào, nghĩa là chứng minh khoảng cách tích phân cho chương trình. Tôi không biết liệu ai đó đã làm điều đó cho NAE trong tính tổng quát của nó hay chưa.