Tính toán một orory hoàn thành bắc cầu

Đã có một vài câu hỏi ( 1 , 2 , 3 ) về việc hoàn thành bắc cầu ở đây khiến tôi suy nghĩ nếu điều này là có thể:

Giả sử chúng ta nhận được một đồ thị hướng đầu vào và muốn trả lời các truy vấn loại " ?", Tức là hỏi liệu có tồn tại một cạnh giữa hai đỉnh trong quá trình hoàn thành bắc cầu của đồ thị không? (tương đương, "có đường dẫn từ đến trong không?").$G$$(u,v)\in G^+$$G$$u$$v$$G$

Giả sử sau khi cho bạn được phép chạy tiền xử lý trong thời gian và sau đó được yêu cầu trả lời các truy vấn trong thời gian .$G$$f(n,m)$$g(n,m)$

Rõ ràng, nếu (nghĩa là không cho phép tiền xử lý), điều tốt nhất bạn có thể làm là trả lời một truy vấn trong thời gian . (chạy DFS từ đến và trả về true nếu có đường dẫn).$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

Một kết quả tầm thường khác là nếu , bạn có thể tính toán đóng cửa bắc cầu và sau đó trả lời các truy vấn trong .$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$$O(1)$

Một cái gì đó ở giữa? Nếu bạn được phép, giả sử thời gian tiền xử lý, bạn có thể trả lời các truy vấn nhanh hơn không? Có thể cải thiện nó thành ?$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

Một biến thể khác là: giả sử bạn có thời gian tiền xử lý $poly(n,m)$ , nhưng chỉ có không gian $o(n^2)$ , bạn có thể sử dụng tiền xử lý để trả lời các truy vấn hiệu quả hơn $O(n+m)$ không?

Chúng ta có thể nói bất cứ điều gì nói chung về sự đánh đổi $f,g$ cho phép trả lời các truy vấn đó không?

Một cấu trúc cân bằng tương tự được xem xét trong các hệ thống GPS, trong đó việc giữ một bảng định tuyến hoàn chỉnh của tất cả các khoảng cách theo cặp giữa các vị trí là không thể thực hiện được, vì vậy, nó sử dụng ý tưởng về các nhà tiên tri khoảng cách lưu trữ một phần bảng nhưng cho phép tăng tốc truy vấn đáng kể qua việc tính toán khoảng cách của toàn bộ đồ thị (thường chỉ thu được khoảng cách xấp xỉ giữa các điểm).

Các orials khả năng tiếp cận nhỏ gọn tồn tại cho đồ thị phẳng,

Mikkel Thorup: Các nhà tiên tri nhỏ gọn cho khả năng tiếp cận và khoảng cách gần đúng trong các bản vẽ phẳng . J. ACM 51 (6): 993-1024 (2004)

nhưng "cứng" đối với các biểu đồ chung (thậm chí các biểu đồ thưa thớt)

Mihai Patrascu: Thống nhất cảnh quan của giới hạn thăm dò tế bào . SIAM J. Tính toán. 40 (3): 827-847 (2011)

Tuy nhiên, có một thuật toán có thể tính toán ghi nhãn khả năng tiếp cận gần tối ưu

Edith Cohen, Eran Halperin, Haim Kaplan, Uri Zwick: Khả năng tiếp cận và truy vấn khoảng cách thông qua các nhãn 2-Hop . SIAM J. Tính toán. 32 (5): 1338-1355 (2003)

Maxim A. Babenko, Andrew V. Goldberg, Anupam Gupta, Viswanath Nagarajan: Thuật toán tối ưu hóa nhãn Hub . ICALP 2013: 69-80

Xây dựng trên công trình của Cohen et al. và những người khác, có khá nhiều nghiên cứu ứng dụng (cộng đồng cơ sở dữ liệu) xem ví dụ

Ruoming Jin, Guan Wang: Khả năng tiếp cận đơn giản, nhanh chóng và có thể mở rộng của Oracle . PVLDB 6 (14): 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Yuichi Yoshida: Truy vấn khả năng tiếp cận nhanh và có thể mở rộng trên biểu đồ bằng cách cắt tỉa nhãn với các mốc và đường dẫn . CIKM 2013: 1601-1606

Tôi sẽ trả lời một phần câu hỏi của bạn: dường như có một số lý do tại sao một công trình như vậy có thể khó có được.

$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$$T(m,n)=O(n^2)$$q(m,n)=O(n)$$O(n^\omega)$$\omega=2$

$G$$n$$X,Y,Z,W$$v$$G$$v_X,v_Y,v_Z,v_W$$(u,v)$$G$$(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$$T(O(m),O(n))$$v_X,v_W$$v$

$n^{2+o(1)}$