Tham chiếu cho các ngôn ngữ Dyck là

Ngôn ngữ Dyck được xác định bởi ngữ pháp sau S → S $\mathsf{Dyck}(k)$ trên tập các biểu tượng { ( 1 , ... , ( k , ) 1 , ... , ) k } . Ngôn ngữ Dyck trực giác là ngôn ngữ của dấu ngoặc đơn cân bằng của k loại khác nhau. Ví dụ,

$$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$$ $\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$$k$ nằm trong D y c k ( 2 ) nhưng$(\,[\,]\,)\,(\,)$$\mathsf{Dyck}(2)$ không phải.$(\,[\,)\,]$

Trong bài báo

Các thuật toán động cho các ngôn ngữ Dyck của Frandsen, Husfeldt, Miltersen, Rauhe và Skyum, 1995,

người ta cho rằng kết quả sau đây là văn hóa dân gian:

là T C 0 - hoàn thành theomức giảm A C 0 .$\mathsf{Dyck}(k)$$\mathsf{TC}_0$$\mathsf{AC}_0$

Có bất kỳ tài liệu tham khảo được biết cho yêu cầu trên? Cụ thể, tôi đang tìm kiếm bất kỳ kết quả nào cho thấy ít nhất một trong những điều sau đây:

• nằm trong T C 0 cho k tùy ý.$\mathsf{Dyck}(k)$$\mathsf{TC}_0$$k$
• là T C 0 -hard cho k tùy ý.$\mathsf{Dyck}(k)$$\mathsf{TC}_0$$k$

---

Giấy gần nhất tôi có thể tìm thấy là

Bi-Lipschitz Sự kết hợp giữa Boolean Cube và Hamming Ball , bởi Stewamini, Cohen và Shinkar, 2013

Điều này chuyển hướng tôi đến giấy Nhận dạng không gian nhật ký và dịch ngôn ngữ dấu ngoặc đơn của Lynch, người đã chứng minh rằng (nghĩa là dấu ngoặc đơn cân bằng bình thường) nằm trong T C 0 .$\mathsf{Dyck}(1)$$\mathsf{TC_0}$

Bất kỳ giấy tờ liên quan đều được hoan nghênh. Cảm ơn!

Xem "Về độ phức tạp tương đối của một số ngôn ngữ trong của Barrington, Corbett$\mathsf{NC}^1$

Đây là một giảm từ M a j o r i t y xuống D y c k ( 1 ) . (Điều này ngụ ý rằng M a j o r i t y là A C 0 có thể rút gọn thành D y c k ( k ) cho tất cả k ≥ 1. ) Để thực hiện, chúng tôi xây dựng một mạch có độ sâu không đổi đa kích thước có cổng là A N $AC_0$$\rm Majority$$Dyck(1)$$\rm Majority$$AC_0$$Dyck(k)$$k \geq 1$$AND$ , , N O T và D y c k ( 1 ) .$OR$$NOT$$Dyck(1)$

---

• Cho một ví dụ của M a j o r i t y do$x \in \{0,1\}^n$$\rm Majority$
• Tính bằng cách thay thế mỗi 0 với ( ( và mỗi 1 với ( ) .$y \in \{0,1\}^{2n}$$0$$(($$1$$()$
• Bây giờ với mỗi hãy để z i là chuỗi thu được bằng cách ghép y với 2 i -many đóng ngoặc, tức là z i = y ∘ ) 2 $i = 1,\dots, n/2$$z_i$$y$$2i$$z_i = y \circ )^{2i}$ .
• Nếu đối với một số i = 1 , ... , n / 2 sau đó CHẤP NHẬN. Nếu không, ĐỐI TƯỢNG.$z_i \in Dyck(1)$$i = 1,\dots, n/2$

---

Điều này có thể được thực hiện rõ ràng với một mạch sâu không đổi. (Tính toán có thể được thực hiện ở độ sâu 1 và tính toán bước cuối cùng được thực hiện bằng cổng O R. )$z_i$$OR$

Cũng dễ dàng nhận thấy rằng mạch này thực sự tính vì z i ∈ D y c k ( 1 ) khi và chỉ khi w e i g h t ( x ) = n - i .$\rm Majority$$z_i \in Dyck(1)$${\rm weight}(x) = n - i$