Đánh lừa các hàm đối xứng tùy ý

Một phân phối được gọi là -fool một hàm nếu . Và nó được cho là đánh lừa một lớp các hàm nếu nó đánh lừa mọi hàm trong lớp đó. Được biết, các không gian thiên vị đánh lừa lớp chẵn lẻ trên các tập con. (xem Alon-Goldreich-Hastad-Peralta để biết một số công trình đẹp của những không gian như vậy). Câu hỏi tôi muốn hỏi là khái quát hóa điều này cho các hàm đối xứng tùy ý.$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

Câu hỏi: Giả sử chúng ta lấy lớp các hàm đối xứng tùy ý trên một số tập hợp con, chúng ta có phân phối (với sự hỗ trợ nhỏ) đánh lừa lớp này không?

Một số quan sát nhỏ:

• Nó đủ để đánh lừa các ngưỡng chính xác ( là 1 khi và chỉ khi có chính xác trong số các chỉ số trong ). Bất kỳ phân phối nào -fools các ngưỡng chính xác này sẽ đánh lừa tất cả các hàm đối xứng trên bit. (Điều này là do mọi hàm đối xứng có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính thực sự của các ngưỡng chính xác này trong đó các hệ số trong tổ hợp là 0 hoặc 1. Độ tuyến tính của kỳ vọng sẽ cho chúng ta những gì chúng ta muốn) Một đối số tương tự cũng hoạt động cho các ngưỡng chung ( là 1 khi và chỉ khi có ít nhất$\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$những người trong số các chỉ số trong )$S$

• Có một cấu trúc rõ ràng của một bản phân phối có hỗ trợ thông qua PRG của Nisan cho LOGSPACE .$n^{O(\log n)}$

• Các không gian thiên vị sẽ không hoạt động. Ví dụ: nếu là tập hợp của tất cả sao cho số lượng trong x không phải là mod 3, thì đây thực sự là thiên vị cho rất nhỏ (từ kết quả của Arkadev Hayopadyay ). Nhưng rõ ràng điều này không đánh lừa chức năng MOD3.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

Một bài toán con thú vị có thể là như sau: giả sử chúng ta chỉ muốn đánh lừa các hàm đối xứng trên tất cả n chỉ số , chúng ta có một không gian đẹp không? Bằng các quan sát trên, chúng ta chỉ cần đánh lừa các hàm ngưỡng trên bit, đây chỉ là một họ của các . Do đó, người ta chỉ có thể chọn phân phối bằng vũ lực. Nhưng có những ví dụ đẹp hơn về không gian đánh lừa 's cho mọi ?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Vâng, một giải pháp chung cho vấn đề này gần đây đã được đưa ra bởi Parikshit Gopalan, Raghu Meka, Omer Reingold và David Zuckerman, xem Pseudorandom Generators for Combinatorial Shapes .

Bài báo đó xử lý một cài đặt thậm chí tổng quát hơn, trong đó trình tạo ra các khối -bit, sau đó được đưa đến các hàm boolean tùy ý, sau đó đầu ra được đưa vào hàm đối xứng boolean.$n$ $\log m$$n$

Một loạt các trường hợp phụ đã được biết đến; xem ví dụ: Trình tạo bit giả ngẫu nhiên mà Fool Modular Sums , Bounded Fool Halfspaces và Pseudorandom Generators for Polynomial Thr ngưỡng Hàm . Đầu tiên xử lý tổng modulo . Thứ hai và thứ ba xử lý chính xác các kiểm tra ngưỡng mà bạn đề cập, tuy nhiên lỗi không đủ tốt để áp dụng lý luận của bạn để thu được kết quả cho mọi hàm đối xứng.$p$