NP hoàn thiện trên thực tế

Tôi đang nghiên cứu mô hình tính toán BSS gần đây (ví dụ: Độ phức tạp và tính toán thực; Blum, Cucker, Shub, Smale.)

Đối với số thực , người ta chỉ ra rằng, với một hệ thống đa thức f 1 , ⋯ , f m ∈ R [ x 1 , ⋯ , x n ] , sự tồn tại của số không là N P R -complete. Tuy nhiên, tôi tự hỏi, nếu những f 's là đa thức chỉ có số nguyên hệ số, tức là f 1 , ⋯ , f m ∈ Z [ x 1 , ⋯ , x n$R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$ , vẫn là vấn đề $NP_R$-cứng? (nó rõ ràng là trong ).$NP_R$

Tôi nghi ngờ có, nhưng có một bằng chứng đơn giản?

Tôi nghĩ rằng câu trả lời là không , giả sử (Tôi tin rằng tôi đưa ra một bằng chứng dưới đây, nhưng có đủ các vấn đề xác định có khả năng gây khó chịu ở đây mà tôi thận trọng về tuyên bố của mình).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Bằng chứng cho thấy câu trả lời là không có giả định $\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : Trong thực tế, tôi tin rằng các tuyên bố mạnh sau giữ:

Bổ đề: Đối với bất kỳ vấn đề quyết định BSS trên R , nếu L poly-time-BSS R giảm cho một vấn đề đầu vào nguyên, sau đó L ∈ P R .$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Bằng chứng về Bổ đề : Giả sử có một thời gian đa thức BSS R giảm từ L đến một vấn đề đầu vào nguyên, được đưa ra bởi một máy M . Đối với các đầu vào bao gồm n tham số thực, hủy bỏ tính toán của M thành cây tính toán đại số. Chỉ có rất nhiều lá và kết quả ở mỗi lá là một hàm hợp lý duy nhất trong các tham số đầu vào. Để chức năng hợp lý của các đầu vào thực luôn luôn xuất ra một giá trị nguyên, nó phải là một hàm hằng và do đó không phụ thuộc vào đầu vào. Tuy nhiên, chức năng không đổi được sử dụng ở mỗi lá, tất nhiên, phụ thuộc vào các nhánh. Tuy nhiên, vì M là máy đồng nhất nên chỉ có O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$các nút đầu ra và do đó chỉ có các giá trị đầu ra . Do đó, M có thể được sửa đổi một cách tầm thường để thực tế quyết định$O(1)$$M$ trong thời gian đa thức. QED$L$

Bây giờ, lấy là tính khả thi thực sự của đa thức thực. Nếu P R ≠ N P R , sau đó L ∉ P R , và bởi Bổ đề không có giảm từ $L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$ đến bất kỳ vấn đề đầu vào nguyên (đặc biệt là tính khả thi thực sự của số nguyên đa thức).

Vấn đề hứa hẹn? : Một vấn đề tiềm năng khác với câu hỏi của bạn là tính khả thi thực sự của đa thức số nguyên có thể không nằm trong , mà chỉ trong phiên bản hứa hẹn của nó. Vấn đề ở đây là để xác minh rằng một đầu vào (chẳng hạn như hệ số của đa thức f i ) là một số nguyên cần có thời gian phụ thuộc vào độ lớn của x , trong khi tập hợp các trường hợp (tất cả các trường hợp, không chỉ các trường hợp có) một vấn đề quyết định N P R nên có thể quyết định được trong P R , nghĩa là nó cần thời gian đa thức về số lượng tham số$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$, và không phải cường độ của họ. Điều này, tôi tin rằng, liên quan chặt chẽ đến thực tế là các số nguyên không phải là thứ tự đầu tiên có thể xác định trong thực tế. (Về cơ bản là tốt nhất một BSS R -machine có thể làm để kiểm tra nếu một đầu vào x là một số nguyên là để tính toán phần nguyên của x bằng cách tính toán, quyền hạn của 2 và làm "tìm kiếm nhị phân." Sau khi đã tính toán phần nguyên của x , nó chỉ kiểm tra xem đó là bằng x .) Vì vậy, tôi nghĩ rằng probleam tính khả thi thực sự của số nguyên phương trình là trong P r o m i s e N P R nhưng có lẽ không phải trong N$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$(hoặc ít nhất có vẻ không cần thiết để chứng minh rằng nó nằm trong ).$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$