Là tương đối hóa được xác định rõ?

Theo BGS lý [1], có một oracle ví dụ mà P Một ≠ N P Một .$A$$P^A\neq NP^A$

Nếu hoạt động relativization là một chức năng được xác định rõ, người ta sẽ hy vọng rằng từ B Một ≠ C Một ai có thể kết luận rằng B ≠ C , ví dụ như P ≠ N P sẽ làm theo từ BGS. Tuy nhiên, P ≠ N P vẫn còn mở.$B\mapsto B^A$$B^A\neq C^A$$B\neq C$$P\neq NP$$P\neq NP$

Điều đó có nghĩa là tương đối hóa không phải là một chức năng được xác định rõ?

Nếu vậy, chúng ta có bất kỳ ví dụ về hai tương đối hóa có thể chứng minh khác nhau của cùng một lớp phức tạp không?

[1] TP Baker, J. Gill và R. Solovay, "Tương đối hóa câu hỏi P =? NP"

$B\mapsto B^A$

Hãy nghĩ về P ^A như là một loại khái quát của P, bằng với P khi A trống, nhưng nếu không thì có thể khác. Bây giờ nếu bạn chỉ biết tập P, nó không phải là rõ ràng như thế nào để khái quát này để có được P ^Một . Tương tự như vậy, nếu tôi yêu cầu bạn khái quát các số thực, thì không rõ tôi đang tìm kiếm khái quát nào. Tôi có nghĩ về các lĩnh vực, vòng, không gian vector, vv? Lý do điều này xảy ra là trong khi P chỉ là một tập hợp các ngôn ngữ, P ^A được định nghĩa theo nghĩa của một máy. Máy này có thuộc tính là khi A trống, nó quyết định chính xác các ngôn ngữ giống như P. Bạn có thể đến với một số máy khác, hãy gọi nó là Q ^A , cũng có thuộc tính mà khi A trống sẽ quyết định các ngôn ngữ giống như P Điều này không có nghĩa là P^A = Q ^A cho tất cả A. Điều này tương tự như để khẳng định rằng nếu f (0) = g (0), thì f và g là cùng một hàm.

Có lẽ bài đăng này của Terence Tao sẽ hữu ích.

(Tôi cho rằng câu hỏi này cuối cùng sẽ được chuyển sang CS.SE, nhưng hiện tại tôi đang đăng câu trả lời của mình cho câu hỏi này trên cstheory.)

Về mặt kỹ thuật, người ta thường không nghĩ đến việc tương đối hóa như là một "toán tử" hay "hàm"; tuy nhiên, tôi không thấy lý do tại sao bạn không thể đưa ra tuyên bố và ánh xạ tuyên bố đó thành phiên bản tương đối hóa của nó.

Bí quyết là, như những người khác đã nói, thuyết tương đối hóa không thực sự được định nghĩa trong một lớp phức tạp; thay vào đó, nó được định nghĩa trên mô hình tính toán bạn đang sử dụng. Hơn nữa, những gì tương đối là tuyên bố, không phải các lớp. (Ký hiệu là một chút sai lệch.)

Một ví dụ về điều này là về mặt lý thuyết tôi có thể nói rằng một tuyên bố tương đối hóa (hoặc, ít có khả năng, không tương đối hóa) ngay cả khi nó hoàn toàn không đề cập đến máy Turing. Ví dụ, tôi có thể nói (một cách trung thực), "1 + 1 = 2" tương đối hóa, bởi vì liên quan đến mọi lời sấm truyền có thể được thêm vào định nghĩa của máy Turing phổ quát của tôi, 1 + 1 = 2 sẽ vẫn đúng.

Vì vậy, câu trả lời ngắn gọn là: Có, nó được xác định rõ, nhưng không phải trên các lớp học.