Một tài liệu tham khảo tốt cho các toán tử lớp phức tạp?

Tôi quan tâm nếu có tồn tại bất kỳ bài viết hay khảo sát tốt nào mà tôi có thể tham khảo khi tôi viết về các toán tử lớp phức tạp : các toán tử biến đổi các lớp phức tạp bằng cách thực hiện những việc như thêm số lượng hóa vào chúng.

Ví dụ về các nhà khai thác

Những điều sau đây có thể được hiểu là một danh sách tối thiểu các toán tử mà câu trả lời sẽ có thể mô tả. Ở đây, $\mathbf C$ là một thiết lập tùy ý của ngôn ngữ, trên một bảng chữ cái hữu hạn tùy ý $\Sigma$ .

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• Các $\exists$ điều hành dường như đã được giới thiệu bởi Wagner [1], mặc dù với các ký hiệu $\bigvee\! \mathbf C$ chứ không phải là$\exists \mathbf C$ . Ví dụ nổi tiếng nhất của một lớp được xây dựng theo cách này là$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ . Toán tử này đi kèm với một lượng hóa bổ sung$\forall$ , trong đó$\exists c$ trong định nghĩa được thay thế bằng, cho phép một để dễ dàng xác định toàn bộ hệ thống cấp bậc đa thức: ví dụ,. Đây có thể là toán tử đầu tiên được xác định.Σ P 2 P = ∃ ∀ $\forall c$$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• Các $\oplus$ điều hành tương tự như $\exists$ nhà điều hành trong đó $\oplus\mathbf C$ liên quan đến số lượng giấy chứng nhận mà tồn tại được kiểm chứng trong lớp $\mathbf C$ , nhưng thay vì đếm số certficiates modulo $2$ . Điều này có thể được sử dụng để định nghĩa các lớp $\mathsf{\oplus P}$ và $\mathsf{\oplus L}$ . Các toán tử tương tự " $\mathsf{Mod_k \cdot}$ " tồn tại cho các mô đun $k$ .

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• Đây là toán tử bổ sung và được sử dụng ngầm để định nghĩa , , và một loạt các lớp khác từ các lớp không được biết là bị đóng theo bổ sung.c o C = P c o M o d k$\mathsf{ coNP}$$\mathsf{coC_=P}$$\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

- với lời xin lỗi cho khoảng cách

• Các nhà điều hành đã được rõ ràng được giới thiệu bởi Schöning [2], mặc dù để xác định ngôn ngữ (ví dụ ông không cho phép một khoảng cách xác suất) và không cần dùng hằng rõ ràng hay . Định nghĩa ở đây mang lại các vấn đề hứa hẹn thay vào đó, với các trường hợp CÓ-trường hợp và trường hợp KHÔNG trong . Lưu ý rằng và ; toán tử này đã được Toda và Ogiwara [3] sử dụng để chỉ ra rằng .$\mathsf{BP}$$\tfrac{1}{3}$$\frac{2}{3}$$\Pi_1$$\Pi_0$$\mathsf{BPP = BP\cdot P}$$\mathsf{AM = BP\cdot NP}$$\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

Nhận xét

Các toán tử quan trọng khác mà người ta có thể trừu tượng hóa từ các định nghĩa của các lớp tiêu chuẩn là (từ các lớp và ) và (từ các lớp và ). Nó cũng tiềm ẩn trong hầu hết các tài liệu rằng (mang lại các vấn đề về chức năng từ các lớp quyết định) và (các lớp đếm từ các lớp quyết định) cũng là các toán tử phức tạp.$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

Có một bài viết của Borchert và Silvestri [4] đề xuất xác định một toán tử cho mỗi lớp, nhưng dường như không được đề cập nhiều trong tài liệu; Tôi cũng lo lắng rằng một cách tiếp cận chung như vậy có thể có các vấn đề xác định tinh tế. Lần lượt, chúng đề cập đến một bài thuyết trình hay của Köbler, Schöning và Torán [5], hiện đã hơn 20 tuổi và dường như cũng bỏ lỡ .$\oplus$

Câu hỏi

Cuốn sách hoặc bài viết nào là một tài liệu tham khảo tốt cho các nhà khai thác lớp phức tạp?

Người giới thiệu

[1]: K. Wagner, Sự phức tạp của các vấn đề kết hợp với các biểu diễn đầu vào cô đọng , Acta Inform. 23 (1986) 325

[2]: U. Schöning, các lớp phức tạp xác suất và chủ quyền , trong Proc. Hội nghị IEEE lần thứ 2 về cấu trúc trong lý thuyết phức tạp, 1987, trang 2-8; cũng trong J. Comput. Khoa học hệ thống, 39 (1989), trang 84-100.

[3]: S. Toda và M. Ogiwara, Các lớp đếm ít nhất cũng khó như hệ thống phân cấp thời gian đa thức , SIAM J. Comput. 21 (1992) 316.

[4]: B. và Borchert, R. Silvestri, Toán tử Dot , Khoa học máy tính lý thuyết Tập 262 (2001), 501 Phản523.

[5]: J. Köbler, U. Schöning và J. Torán, Vấn đề đẳng cấu đồ thị: Độ phức tạp cấu trúc của nó, Birkhäuser, Basel (1993).

Dưới đây là một tài liệu tham khảo với nhiều định nghĩa về toán tử (không có nhiều chi tiết):

S. Zachos và A. Pagourtzis, Sự kết hợp phức tạp: Các nhà khai thác trên các lớp phức tạp , Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề logic Panhellenic lần thứ 4 (PLS 2003), Thessaloniki, 7-10 / 7/2003.

• Nó định nghĩa một toán tử nhận dạng , cũng như các toán tử -, (tương ứng với ở trên), , (tương ứng với giới hạn lỗi hai mặt), , (tương ứng với tính không xác định với chuyển đổi chấp nhận duy nhất), (tương ứng với lỗi hai mặt không liên kết) và (đối với một lớp dạng ).$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• Nó cho thấy rằng:

  1. $\mathcal E$ là một yếu tố nhận dạng liên quan đến thành phần [Định nghĩa 1];
  2. $\mathsf{co}$ - là tự đảo ngược [Định nghĩa 2];
  3. $\mathsf{N}$ là idempotent [Định nghĩa 3] - ngầm định là , , , và cũng là idempotent;$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf{P}$
  4. $\mathsf{BP}$ và đi lại với - [Định nghĩa 4 và 8], trong khi là bất biến dưới bên phải với - [Định nghĩa 6];$\mathsf{P}$$\mathsf{co}$$\oplus$$\mathsf{co}$
  5. Các nhà khai thác trên là tất cả các đơn điệu (có nghĩa là, cho tất cả các nhà khai thác ở trên) :${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$$\mathcal O$

Trong suốt, nó cũng mô tả một số cách mà các toán tử này liên quan đến các lớp phức tạp truyền thống, chẳng hạn như , , , , v.v.$\mathsf{\Sigma^p_2 P}$$\mathsf{ZPP}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{MA}$

Là một tài liệu tham khảo giới thiệu về khái niệm toán tử phức tạp (và thể hiện một số ứng dụng của ý tưởng), điều tốt nhất tôi tìm thấy cho đến nay là

D. Kozen, Lý thuyết tính toán (Springer 2006)

được rút ra từ các ghi chú bài giảng về độ phức tạp tính toán và các chủ đề liên quan. Trên trang 187 ("Bài giảng bổ sung G: Định lý Toda"), ông định nghĩa các toán tử

• $\mathsf R$ (đối với các chứng chỉ ngẫu nhiên có lỗi một phía bị ràng buộc, như trong lớp )$\mathsf{RP}$
• $\mathsf{BP}$ (đối với các chứng chỉ ngẫu nhiên có lỗi hai mặt bị ràng buộc, xem ở trên)
• $\mathsf P$ (đối với các chứng chỉ ngẫu nhiên có lỗi không liên kết, cf trong các nhận xét ở trên)$\mathsf C$
• $\oplus$ (đối với số lượng chứng chỉ lẻ, xem bên trên)
• $\Sigma^{\mathrm{p}}$ (đối với sự tồn tại của chứng chỉ độ dài đa thức, cf ở trên)$\exists$
• $\Sigma^{\mathrm{log}}$ (vì sự tồn tại của chứng chỉ -thngngth, cf ở trên)$O(\log n)$$\exists$
• $\Pi^{\mathrm{p}}$ và (toán tử bổ sung cho và : xem nhận xét về ở trên)$\Pi^{\mathrm{log}}$$\Sigma^{\mathrm{p}}$$\Sigma^{\mathrm{log}}$$\forall$
• $\#$ (xác định một lớp đếm, nhận xét cf ở trên)

và ngầm định nghĩa trên trang 12 theo cách thông thường.$\mathsf{co\text-}$

Sự đối xử của Kozen đối với các toán tử này là đủ để chỉ ra cách chúng được kết nối với các lớp phức tạp "thông thường" và để mô tả định lý của Toda, nhưng không thảo luận nhiều về mối quan hệ của chúng và chỉ đề cập đến chúng trong tổng cộng 6 trang (sau tất cả là gì một cuốn sách bao gồm một chủ đề rộng lớn hơn nhiều). Hy vọng ai đó có thể cung cấp một tài liệu tham khảo tốt hơn thế này.