Giới hạn dưới về độ phức tạp không gian đơn điệu

Các không gian đơn điệu phức tạp của một ngôn ngữ $L \subseteq \Sigma^*$ có thể được quy định tại các điều khoản của mạng chuyển mạch đơn điệu (xem ví dụ: "Trung bình chữ thường Bounds cho đơn điệu Switching Mạng" bởi Filmus et al.). Khái niệm này được liên kết với hệ thống phân cấp đơn điệu $NC$và có thể có các ứng dụng cho cài đặt không đơn điệu cho hầu hết các câu hỏi được mở.

Đây là một định nghĩa tương đương trong thuật ngữ của các mạch. Hãy $K$ là một mạch (hoặc dag) mà vòng cung được dán nhãn bởi các yếu tố của $[n] \times \Sigma$ , và trong đó có một đơn nút gốc $r$ . Chúng tôi nói rằng $K$ chấp nhận một từ iff có một đường dẫn gốc trong có chuỗi nhãn khớp với , tức là với mỗi nhãn trong chúng tôi có . Bây giờ, với một ngôn ngữ , với mỗi số nguyên chúng tôi xác định độ phức tạp -slice của nó P K w ( i , a ) P w [ i ] = a L n n C L ( n ) L ∩ Σ n C ′ L ( n $w \in \Sigma^n$$P$$K$$w$$(i,a)$$P$$w[i] = a$$L$$n$$n$$C_L(n)$là kích thước tối thiểu của một mạch chấp nhận chính xác các từ trong . Ví dụ, chúng ta có thể đặt một số hạn chế cho khái niệm này bằng cách yêu cầu các mạch được đọc một lần, nghĩa là mỗi đường dẫn chấp nhận tạo một quyền truy cập vào một vị trí nhất định. Điều này dẫn đến một phép đo phức tạp thứ hai có vẻ dễ phân tích hơn, như minh họa dưới đây.$L \cap \Sigma^n$$C'_L(n)$

Một ví dụ là Matching vấn đề Perfect ( ), có thể được chứng minh là có đơn điệu phức tạp C ' P M ( n ) = 2 Ω ( n ) như sau. Gọi P M n là lát cắt của ngôn ngữ tương ứng với đồ thị lưỡng cực G với n đỉnh ở mỗi bên của lưỡng cực (ký hiệu là A , B ). Xét một mạch K chấp nhận nó. Cho một số nguyên k , hãy để P k biểu thị tập hợp các đường dẫn có độ dài $PM$$C'_{PM}(n) = 2^{\Omega(n)}$$PM_n$$G$$n$$A,B$$K$$k$$\mathcal{P}_k$$k$trong bắt đầu từ gốc, và để cho T k biểu thị các cặp bộ ( S , T ) với S ⊆ A , T ⊆ B và | S | = | T | = k . Bằng tính đơn điệu, chúng ta có thể đưa ra giả định sau:$K$$\mathcal{T}_k$$(S,T)$$S \subseteq A, T \subseteq B$$|S| = |T| = k$

(*) Cho mỗi nút sâu k , có một tuple t = ( S , T ) ∈ T k như vậy mà mỗi con đường P ∈ P k dẫn đến u được dán nhãn bởi một hoán vị σ P : S → T .$u$$k$$t = (S,T) \in \mathcal{T}_k$$P \in \mathcal{P}_k$$u$$\sigma_P : S \rightarrow T$

Thật vậy, nếu có hai đường dẫn khác nhau dẫn đến tương ứng với các bộ dữ liệu khác nhau, một trong số chúng có thể được mở rộng thành một hàm không phải là hoán vị (và do đó sẽ nhận ra biểu đồ n -edges không khớp).$u$$n$

Bây giờ quan sát mà chúng ta phải có những điều sau "vùng phủ sóng" bất động sản: cho mỗi hoán vị , có nên tồn tại một số con đường P ∈ P k đến nỗi σ kéo dài σ P . Quan sát rằng một hoán vị cho σ P có thể được mở rộng đến tối đa là ( n - k ) ! hoán vị khác nhau, và một tuple nhất định trong T k có thể gây ra nhiều nhất k ! hoán vị khác nhau. Điều này ngụ ý rằng số lượng nút ở độ sâu k ít nhất là $\sigma : A \rightarrow B$$P \in \mathcal{P}_k$$\sigma$$\sigma_P$$\sigma_P$$(n-k)!$$\mathcal{T}_k$$k!$$k$. Đặc biệt, số lượng nút ở cấp$\frac{n!}{k! (n-k)!}$ là ít nhấtn$\frac{n}{2}$.$\frac{n!}{(\frac{n}{2})!^2} = 2^{\Omega(n)}$

Có hai điều tôi muốn hiểu: (i) tại sao lập luận này phá vỡ không gian phức tạp / nonmonotone đọc nhiều, (ii) làm thế nào nó liên quan đến giới hạn thấp hơn được biết đến với mức độ phức tạp không gian đơn điệu của .$PM$

Đây không hẳn là một câu trả lời, mà là một "bình luận mở rộng".

Đối với câu hỏi (i): property (*) giữ vì đọc một lần, không phải vì tính đơn điệu và đây là lý do tại sao đối số không thành công trong trường hợp đọc nhiều (thậm chí là đơn điệu): thì các đường dẫn kết hợp không cần phải là PM, chúng có thể là các biểu đồ tùy ý chứa PM.

Trong trường hợp đọc một lần, ngay cả PM chính xác (chấp nhận biểu đồ nếu nó là kết hợp hoàn hảo) yêu cầu kích thước theo cấp số nhân (theo cùng một đối số như của bạn). Nhưng nếu chúng ta cho phép phủ định, thì EPM có thể được tính bằng một mạch có kích thước : kiểm tra xem mọi nút trong A có độ ít nhất là một hay không và liệu mỗi nút trong B có nhiều nhất một độ không. Mạng chuyển mạch kết quả là "gần như đọc một lần": mọi đường dẫn nhất quán đều được đọc. Tìm kiếm cụm từ "null-path" ở đây để biết thêm thông tin. $O(n^3)$

Để hỏi (ii): Tôi chưa hiểu "nó" ở đây đề cập đến điều gì? Nhưng theo như tôi biết, giới hạn dưới của Razborov (đối với kích thước mạch đơn điệu của PM) vẫn là mạnh nhất. Mặc dù các mạng chuyển mạch đơn điệu tạo thành một trường hợp đặc biệt của các mạch đơn điệu (trong đó một đầu vào của mỗi cổng AND phải là một biến), không có giới hạn nào mạnh hơn cho PM được biết ở đây.$n^{\Omega(\log n)}$