Vấn đề đồ thị con được kết nối tối đa trong đồ thị phẳng

Vấn đề đồ thị con được kết nối trọng lượng tối đa như sau:

Input: một đồ thị $G=(V,E)$ và một trọng lượng $w_i$ (có thể là tiêu cực) cho mỗi đỉnh $i \in V$ .

Đầu ra: một tập hợp con có trọng số tối đa $S$ của các đỉnh sao cho $G[S]$ được kết nối.

Vấn đề này là NP-hard. David S. Johnson đề cập đến pg. 149 của cột này cho rằng vấn đề vẫn còn khó khăn trong các đồ thị phẳng bậc ba tối đa với tất cả các trọng số $+1$ hoặc $-1$ .

Tôi không thể tìm thấy bài báo được trích dẫn - A. Vergis, bản thảo (1983)

Bất kỳ ý tưởng như để tìm giấy ở đâu? Hoặc những gì đã giảm?

— Austin Hội trưởng
nguồn

Trong "Cột hoàn thành NP: Hướng dẫn liên tục" số 14, Johnson viết "... Vergis [49]. Chuyển đổi từ STEINER TREE IN GRAPHS [ND12] ..." . Tôi không có quyền truy cập vào bài viết của Vergis, tuy nhiên việc giảm khả năng có thể là như sau.

Cây Steiner (ST) trong bài toán đồ thị

Ví dụ : một đồ thị vô hướng , một tập hợp con của các đỉnh , được gọi là các nút thiết bị đầu cuối ; một số nguyên không âm $G = (V,E)$ $R \subseteq V$ $k$

Câu hỏi : có một cây con của bao gồm tất cả các đỉnh của (một cây bao trùm cho ) và có chứa nhiều nhất cạnh không? $G$ $R$ $R$ $k$

Vấn đề vẫn là NPC ngay cả đối với các đồ thị phẳng (M. Garey và D. Johnson. Vấn đề cây Steiner trực tràng là NP-đầy đủ).

Cho một ví dụ của ST phẳng, bây giờ giả sử rằng bạn có thể gán trọng số tùy ý cho các nút. Nếu và , bạn có thể gán trọng số cho các nút của và bạn có thể thêm một nút giữa cho mọi cạnh của và gán trọng số cho nó. Cân Gán cho các nút còn lại trong . Biểu đồ ban đầu có cây bao trùm cho với tối đa $|R|=p$ $|E|=q$ $q+1$ $R$ $E$ $-1$ $0$ $V \setminus R$ $G$ $R$ $k$ cạnh nếu và chỉ khi trong biểu đồ được chuyển đổi, bạn có thể tìm thấy một sơ đồ con có trọng lượng mục tiêu lớn hơn hoặc bằng . $W = p(q+1) - k$

Để đạt được số lượng cách không chính thức, bạn phải bao gồm tất cả các nút của trong sơ đồ con và bạn phải bao gồm tối đa nút giữa (tương ứng với các cạnh của ) có trọng số âm -1 để giữ cho chúng được kết nối . $p(q+1)$ $R$ $k$ $G$

Bạn có thể giảm mức độ tối đa của toàn bộ đồ thị xuống còn ba theo cách này: if chỉ cần chuyển đổi mỗi nút thành một chuỗi tròn của các nút (và điều chỉnh giá trị của phù hợp). Kết nối các cạnh trong với các nút riêng biệt của chuỗi (sẽ có độ 3). $D = \max\{deg(u_i) \mid u_i \in V\}$ $u_i$ $D$ $p$

Và nếu bạn chỉ muốn sử dụng trọng số thì bạn phải: (A) gán cho tất cả các nút của chuỗi tròn tương ứng với các nút trong , (B) biến đổi mọi nút giữa thành chuỗi tuyến tính của các nút có trọng lượng và chiều dài và (C) tiếp tục mở rộng chuỗi vòng tròn (có trọng số +1) tương ứng với các nút của đến ít nhất chiều dài $+1,-1$
$+1$ $V\setminus R$
$-1$ $l_E = |V\setminus R|+1$
$R$ ; và thiết lập mục tiêu trọng lượng . Một cách không chính thức, các chuỗi mở rộng và mục tiêu mới làm chotrọng số của các nút tương ứng với (điểm A) không liên quan. $l_R = l_E( |E| + 1)$ $W =pl_R - kl_E$
$+1$ $V \setminus R$

— Marzio De Biasi
nguồn

bạn rất nhanh chóng trong việc thiết kế các tiện ích NP-độ cứng!

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: nhưng tôi vẫn không chắc là nó đúng: -S. Tuy nhiên, tôi cũng chuyên giảm "Tái tạo bánh xe" (RTW) :-). Hơn nữa với yEd, bạn có thể vẽ biểu đồ trong vài phút ... sử dụng tikzit sẽ mất hàng giờ :).

— Marzio De Biasi

Khi có một nhiệm vụ thỏa mãn, làm thế nào để bạn chắc chắn rằng nó được kết nối?

— Austin Hội trưởng

@AustinBuchanan: Tôi đã thay đổi toàn bộ bằng chứng ... xem nếu nó có thể làm việc (trước đó vá với

cạnh là đúng nhưng không đảm bảo một đồ thị phẳng :-)

(y_{i}, y_{i + 1})

$(y_i,y_{i+1})$

— Marzio De Biasi