Có bao nhiêu trường hợp 3-SAT là thỏa đáng?

28

Hãy xem xét bài toán 3-SAT trên n biến. Số mệnh đề riêng biệt có thể là:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Số lượng các trường hợp vấn đề là số lượng của tất cả các tập con của tập các mệnh đề có thể: . Một cách tầm thường, với mỗi , tồn tại ít nhất một thể hiện thỏa đáng và một thể hiện không thỏa mãn. Có thể tính toán, hoặc ít nhất là ước tính, số lượng cá thể thỏa đáng cho bất kỳ n nào không? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
nguồn

Xem thêm câu hỏi liên quan cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

Bạn có phiền giải thích làm thế nào bạn có được công thức đếm? 3 đâu! đến từ đâu?

— Yan King Yin

Một câu hỏi khác dành cho người mới: nếu tổng số cấu hình (nghĩa là gán sự thật) là , điều này có nghĩa là nhiều bài tập sự thật không thể được thể hiện bởi bất kỳ trường hợp vấn đề nào. Điều đó trái ngược với kiến thức của tôi rằng các công thức boolean hoàn chỉnh theo nghĩa là chúng có thể diễn đạt bất kỳ bảng chân lý nào. Cái gì ở đây?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

27

Một lịch sử lâu dài về các chuyển pha trong SAT đã chỉ ra rằng với bất kỳ cố định nào , có một ngưỡng được tham số hóa bởi tỷ lệ số mệnh đề so với quyết định mức độ thỏa mãn. Nói một cách đơn giản, nếu tỷ lệ nhỏ hơn 4.2, thì với xác suất áp đảo, trường hợp đó là thỏa đáng (và do đó, một phần rất lớn số lượng phiên bản có nhiều mệnh đề và biến này là thỏa đáng). Nếu tỷ lệ này hơi cao hơn 4.2, thì tỷ lệ giữ ngược lại - một phần áp đảo của các trường hợp là không thỏa đáng. $n$ $n$

Các tài liệu tham khảo có quá nhiều cách để trích dẫn ở đây: một nguồn thông tin là cuốn sách của Mezard và Montanari . Nếu bất cứ ai có nguồn cho các cuộc khảo sát, vv về chủ đề này, họ có thể đăng nó trong các bình luận hoặc chỉnh sửa câu trả lời này (Tôi sẽ làm cho nó CW)

Tài liệu tham khảo:
- Khảo sát Achlioptas
- Trường hợp các vấn đề thực sự khó khăn
- Tinh chỉnh quá trình chuyển pha trong tìm kiếm tổ hợp

— Suresh Venkat
nguồn

Điều đó rất thú vị. "Xác suất áp đảo là gì?" Đây có phải là một cái gì đó như 75%, hoặc 99.9999%?

— Philip White

Tôi không nhớ lại, thành thật mà nói. nó được tham số hóa bởi khoảng cách của tỷ lệ từ điểm chuyển đổi và hoạt động như một sigmoid (vì vậy nó đi đến 1 rất nhanh). Các khảo sát được liên kết có thể có nhiều chi tiết hơn

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh: Vâng, đó là một "sự gián đoạn" rất nhanh. Nếu bạn thấy các ô, xác suất được thỏa mãn thay đổi đột ngột từ gần 1 đến gần 0. Điều thú vị là ngưỡng phụ thuộc vào . Ngoài ra, thật thú vị khi tất cả các hành vi này dường như chỉ giữ trong các trường hợp ngẫu nhiên.

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

Một mặt, phần lớn các trường hợp sẽ không thỏa mãn, như đã nói trong nhận xét của Suresh. . $2^{|C|}$

Mặt khác, chúng tôi có thể giới hạn số lượng các trường hợp thỏa đáng theo số lượng được thỏa mãn bởi phép gán all-zero: chúng sẽ là , như với mỗi bộ ba biến số ở đó là một điều khoản chúng tôi không thể sử dụng. $2^{(7/8)|C|}$

Sau đó, người ta có thể giới hạn số lượng các trường hợp thỏa đáng bằng cách nhân số này với . Vì , tôi đoán điều này chỉ thay đổi một thuật ngữ đơn hàng nhỏ đã ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
nguồn

Khi tôi mới bắt đầu nghiên cứu tiến sĩ, tôi đã chỉ ra rằng nếu số mệnh đề cho SAT lớn hơn thì những trường hợp đó không thỏa mãn. Tôi cũng đã chứng minh rằng nếu số mệnh đề nằm trong khoảng thì những trường hợp đó đều thỏa mãn duy nhất hoặc không thỏa mãn Tôi không nhớ lại đạo hàm cho 3-SAT trên đỉnh đầu. Ok

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun Trả tiền

4

Câu trả lời này chỉ liên quan đến tốc độ tăng trưởng của số lượng các trường hợp thỏa đáng.

Tập là thưa thớt nếu số chuỗi n-bit trong tập bị giới hạn bởi (đối với một số không đổi ) nếu không thì dày đặc. Được biết, sự thỏa mãn (NP-đầy đủ) và Không thỏa mãn (CoNP-hoàn thành) là cả hai tập hợp dày đặc. Tồn tại các bộ -complete thưa thớt iff . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn