Những tính chất nào của đồ thị phẳng tổng quát đến kích thước / siêu đồ thị cao hơn?

Một đồ thị phẳng là một đồ thị có thể được nhúng vào trong mặt phẳng, mà không cần phải cạnh qua.

Đặt là một siêu dữ liệu -uniform, tức là một siêu đồ thị sao cho tất cả các siêu tăng của nó có kích thước k.$G=(X,E)$$k$

Đã có một số công việc được thực hiện khi nhúng siêu dữ liệu vào mặt phẳng (với bối cảnh phân cụm hoặc một số ứng dụng khác), nhưng thông thường, dữ liệu không thể được nhúng vào mặt phẳng. Giải pháp có thể là buộc nó, với một số mất mát, hoặc nhúng nó vào chiều cao hơn như tôi đề nghị ở đây:

Một phần mở rộng tự nhiên của tính phẳng (ít nhất là IMO) là " -faxple-nhúng" (có một tên gọi khác cho nó không?) Của : một nhúng , sao cho tồn tại các bề mặt kết nối tất cả các đỉnh của mỗi hyperedge và các bề mặt này không giao nhau ngoại trừ các điểm cuối.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Hãy nghĩ về sự tương tự trong 2D, trong đó mỗi bề mặt là một cạnh bạn có thể vẽ theo cách bạn muốn).

Dưới đây là một ví dụ về việc nhúng 3 đơn giản hợp lệ của siêu dữ liệu 3 đồng nhất. (Mỗi đỉnh được tô màu bởi các siêu cạnh mà nó được chứa trong đó và mỗi mặt đại diện cho một hyperedge).

Một ví dụ khác về đồ thị 3 đơn giản là siêu đồ thị 3 đồng nhất hoàn chỉnh trên 5 đỉnh . Để thấy điều này, chỉ cần lấy 4 điểm trong không nằm trên mặt phẳng 2D, tạo một hình chóp tam giác (thân lồi của chúng) và đặt điểm thứ năm vào giữa kim tự tháp, nối nó với các đỉnh khác.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Tương tự như vậy, có vẻ như siêu dữ liệu 3 đồng nhất hoàn chỉnh trên 6 đỉnh không có nhúng 3 đơn giản.

Có một số tính chất rất hữu ích của đồ thị phẳng cho phép các thuật toán được cải thiện cho các vấn đề khó khăn khi đồ thị là phẳng. Thật không may, dữ liệu thường không phải là phẳng, mặc dù đôi khi nó có chiều hướng thấp. Tôi nghĩ rằng việc hiểu các thuộc tính nào của đồ thị phẳng tổng quát sẽ giúp chúng ta tìm ra thuật toán nào có thể được điều chỉnh cho kích thước cao hơn với cùng một công cụ.

Một ví dụ về một thuộc tính có thể hữu ích đến từ Định lý Fáry cho thấy mọi đồ thị phẳng có thể được nhúng theo cách mà tất cả các cạnh của nó là các đoạn thẳng.

Định lý của Fáry có giữ chiều cao hơn không? , tức là nếu một đồ thị có nhúng -faxple, nó có nhúng trong đó tất cả các cạnh siêu đều là hyperplanes không?$k$

Có bất kỳ tính chất khác có thể được khái quát? ví dụ: Công thức của Euler cho đồ thị phẳng có thể được khái quát bằng cách nào đó lên kích thước cao hơn không? (mặc dù hiện tại tôi không chắc ý nghĩa của nó là gì).

Như một nhận xét đầu tiên, sự tập trung của bạn dường như tập trung vào các siêu dữ liệu nhưng tôi nghĩ rằng hầu hết các tài liệu về việc nhúng các siêu dữ liệu thích làm việc với các phức hợp đơn giản. Một tài liệu tham khảo tốt về những câu hỏi này là bài viết này của Matousek, Tancer và Wagner.

Định lý của Fáry có giữ chiều cao hơn không?

Câu trả lời là không.

Thực tế, có 3 khái niệm khác nhau về khả năng nhúng: với các đường thẳng, đường thẳng và liên tục (siêu). Trong máy bay, tất cả đều trùng khớp, nhưng nói chung thì không. Về nhúng nhúng đường thẳng, một ví dụ phản tác dụng đầu tiên là do Brehm

Brehm, U. (1983). Một dải Möbius hình tam giác không tam giác. Proc. Amer. Môn Toán. Sóc., 89 (3), 519 Từ522. doi: 10.2307 / 2045508

và một số ví dụ đã theo sau bằng cách sử dụng kết quả từ lý thuyết matroid.

Về sự khác biệt giữa PL và nhúng nhúng tôpô, kết quả này từ các ví dụ phản biện chung phát sinh từ Hauptvermutung : Trong các kích thước 5 trở lên, tồn tại các hình cầu tôpô không thừa nhận bất kỳ cấu trúc tuyến tính piecewise nào

Có bất kỳ tính chất khác có thể được khái quát? ví dụ: Công thức của Euler cho đồ thị phẳng có thể được khái quát bằng cách nào đó lên kích thước cao hơn không?

Bạn có thể muốn xem xét đặc tính Euler (chuyển sang định nghĩa tô pô), liên quan đến tổng xen kẽ của số đơn giản -chiều với tổng số xen kẽ của các số betti của số phức của bạn.$k$

Tương tự như vậy, có vẻ như 3 siêu dữ liệu hoàn chỉnh trên 6 đỉnh không có nhúng 3 đơn giản.

Thật vậy, kết quả này từ sự cản trở của van Kampen-Flores. Điều này được giải thích rất chi tiết và rõ ràng trong cuốn sách của Matousek Sử dụng Định lý Borsuk Ulam.

Ồ ồ. Bạn muốn rất rất cẩn thận. Biểu đồ liên hệ của các đa giác lồi trong 3d có thể nhận ra bất kỳ biểu đồ nào. Đáng ngạc nhiên, các cụm có thể được nhận ra bởi n đa giác được n xoay và dịch các bản sao của cùng một đa giác (kính râm tâm trí). Xem bài viết này:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pub/crum.html

Điều này đã ngụ ý rằng bạn có thể mã hóa các biểu đồ khá khó chịu dưới dạng biểu đồ giao nhau của các hình tam giác trong 3d. Xem phần 4 của bài viết này:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, tôi quan tâm đến một phiên bản tương tự của vấn đề của bạn bằng cách cố gắng hiểu cách biểu đồ giao nhau hình học hành xử ...

Định lý Schnyder tuyên bố rằng một đồ thị là phẳng, nếu đó là tỷ lệ mới nhất của nó có kích thước tối đa 3. Điều này đã được Mendez mở rộng thành các phức đơn giản tùy ý (xem "Hiện thực hóa hình học của các phức đơn giản", Vẽ biểu đồ 1999: 323-3232). Thật kỳ lạ, có một bài báo cũ hơn rất nhiều với tiêu đề rất giống nhau "Việc thực hiện hình học của một phức hợp bán đơn giản", nhưng tôi nghi ngờ rằng nó thuộc một chủ đề khác.

Tài sản rất quan trọng: nhị nguyên chiều rộng cây.

ví dụ: nhìn vào: Chiều rộng cây của siêu đồ thị và tính đối ngẫu bề mặt của Frederic Mazoit,

Tóm tắt như sau:

Trong Đồ thị nhỏ III, Robertson và Seymour viết: "Dường như chiều rộng cây của đồ thị phẳng và chiều rộng cây của hình kép của nó gần bằng nhau, thực sự, chúng tôi đã tự thuyết phục rằng chúng khác nhau nhiều nhất là một." Họ không bao giờ đưa ra một bằng chứng về điều này. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự khái quát hóa của tuyên bố này đối với việc nhúng các siêu dữ liệu trên các bề mặt chung và chúng tôi chứng minh rằng ràng buộc của chúng tôi là chặt chẽ.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf