Độ cứng APX ngụ ý không có QPTAS?

Vì vậy, một tìm kiếm nhanh trên web đã khiến tôi tin rằng "APXHardness ngụ ý rằng không có QPTAS nào tồn tại cho một vấn đề trừ khi [một số lớp phức tạp] được đưa vào một số [lớp phức tạp khác]" và nó cũng được biết đến! Dường như mọi người đều biết điều này ngoại trừ tôi. Thật không may, không có tài liệu tham khảo để hỗ trợ tuyên bố này được đưa ra. Tôi có hai câu hỏi:

Phiên bản mạnh nhất của tuyên bố này hiện đang được biết đến là gì?
Một tài liệu tham khảo? Xin vui lòng?

Cảm ơn trước.

Câu trả lời Chandra Chekuri đề nghị rằng: cho một vấn đề -Hard ngụ ý . Bất cứ ai có thể giải thích tại sao nó là sự thật, hoặc tốt nhất là đưa ra một tài liệu tham khảo cho điều đó? Nói cách khác, tại sao gần đúng thời gian gần đúng đa thức hàm ý khả năng thanh toán thời gian QP? $QPTAS$ $APX$ $NP\subseteq QP$

cc.complexity-theory reference-request

— Sariel Har-Peled
nguồn

Các câu trả lời cho câu hỏi này: cstheory.stackexchange.com/questions/9350/ cho thấy rằng rất khó có khả năng MAX 3SAT thừa nhận bất cứ điều gì tốt hơn 7/8 trong thời gian phụ (không có điều kiện trên ETH).

— Suresh Venkat

APX-Độ cứng ngụ ý rằng có một như vậy mà vấn đề không thừa nhận một -approximation trừ khi . Rõ ràng quy định này ra một PTA (giả sử ). Đối với QPTAS, nó sẽ loại trừ trừ khi bạn tin rằng NP được chứa trong thời gian đa thức. Theo như tôi biết, đó là lý do duy nhất tại sao APX-Hardness loại bỏ QPTAS. $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $P=NP$ $P \neq NP$

Vì một vài người hỏi thêm chi tiết, đây là một số chi tiết. APX-Độ cứng cho một vấn đề giảm thiểu P ngụ ý rằng có một cố định và một đa thức thời gian giảm từ 3-SAT để P như vậy mà một -approximation cho P cho phép một để quyết định xem 3-SAT công thức có thỏa đáng hay không. Nếu có một QPTAS cho P chúng ta có thể có được đối với bất kỳ cố định một -approximation trong thời gian nói . Nhưng điều này ngụ ý rằng chúng ta có thể quyết định liệu công thức 3-SAT có thỏa đáng trong $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $n^{O(\log n)}$ lần lượt ngụ ý rằng NP nằm trong QP. $n^{O(\log n)}$

— Chandra Chekuri
nguồn

Tại sao (PTAS

⟹

$\implies$ P = NP) có nghĩa là (QPTAS

)? Không xấp xỉ phương tiện QPTAS trong thời gian gần như đa thức trong khi

đòi hỏi giải pháp chính xác?

⟹ N P \subseteq Q P

$\implies NP\subseteq QP$

N P \subseteq Q P

$NP\subseteq QP$

— RB

@ Vendra Yeh. Đó là đáng tin, ref? (Trừ đi một cách rõ ràng thông qua các chi tiết của độ cứng xấp xỉ cho 3SAT và như vậy, mà không phải là khó, nhưng một ref sẽ tốt hơn ...)

— Sariel Har-Peled

@ChandraChekuri Tôi gần như chắc chắn dày đặc ở đây, nhưng nếu QPTAS của bạn cho 3SAT chạy đúng lúc

, thì tôi không thấy làm thế nào tôi có thể kết luận rằng tôi sẽ quyết định 3SAT trong thời gian QP (vì có lẽ tôi cần đặt

. Trừ khi có một số khuếch đại đang diễn ra mà tôi bị thiếu.

n^{O (\log n)} 2^{1 / δ}

$n^{O(\log n)}2^{1/\delta}$

δ = 1 / n

$\delta = 1/n$

— Suresh Venkat

@SureshVenkat Bạn cần sử dụng định lý PCP nói rằng làm tốt hơn 7/8 xấp xỉ 3SAT là NPHard. Đó là lý do tại sao tôi muốn một ref;).

— Sariel Har-Peled

@SureshVenkat QPTAS không dành cho 3-SAT. Đó là vấn đề P và

là một hằng số cố định. APX-Độ cứng cho P ngụ ý rằng có một hằng số cố định

sao cho bất kỳ thuật toán mà giải quyết

để tốt hơn

-solves 3-SAT. Sự phụ thuộc của thời gian chạy của QPTAS cho

trên

có thể tùy ý xấu nhưng tôi sẽ sử dụng nó chỉ cho

được cố định.

δ

$\delta$

δ

$\delta$

P

$P$

(1 + δ)

$(1+\delta)$

P

$P$

ϵ

$\epsilon$

ϵ = δ

$\epsilon = \delta$

— Chandra Chekuri