Trồng Clique ở G (n, p), thay đổi p

Trong bài toán clique trồng, người ta phải phục hồi một -clique được trồng trong đồ thị ngẫu nhiên Erdos-Renyi G ( n , p ) . Điều này chủ yếu đã được xem xét cho p = $k$$G(n,p)$ , trong trường hợp này nó được biết đến là thời gian đa thức có thể giải quyết nếuk>$p=\frac{1}{2}$ và phỏng đoán khó chok<$k > \sqrt{n}$ .$k< \sqrt{n}$

Câu hỏi của tôi là: những gì được biết / tin về các giá trị khác của $p$ ? Cụ thể, khi $p$ là hằng số trong $[0,1]$ ? Có bằng chứng nào cho thấy, với mỗi giá trị như vậy của $p$ , tồn tại một số $k=n^{\alpha}$ mà vấn đề khó tính toán không?

Tài liệu tham khảo sẽ đặc biệt hữu ích, vì tôi đã không thành công trong việc tìm kiếm bất kỳ tài liệu nào xem xét vấn đề cho các giá trị khác với $p=\frac{1}{2}$ .

$p$$G(n,p)$$\log n$$\log (1/p)$$p$$\omega(\log n)$$p \ne 1/2$$p=1/2$$p$

$p\ne 1/2$$\Omega(n^{\alpha})$$\alpha = 1/2$$\alpha$$1/2$$G(n,p)$$0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$$2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$

$p$$1/2$$n^{1/3}$

$p$$n$

• Béla Bollobás, Đồ thị ngẫu nhiên (ấn bản 2), Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2001.
• $\vartheta$
• Uriel Feige và Robert Krauthgamer, Tìm kiếm và chứng nhận một cụm ẩn lớn trong đồ thị bán ngẫu nhiên, Cấu trúc ngẫu nhiên & Thuật toán 16 (2) 195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

$p \neq \frac{1}{2}$

$k$$k$$1 −\varepsilon$$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$

• $k$

đây là một bài báo mới có thuật toán cho p ≠ ½ tùy ý dựa trên thuật toán SVD. xem p.4 để phân tích các cụm ẩn (trồng).

Một SIMPLE SVD Thuật toán tìm HIDDEN phân vùng Vân Vũ

Trừu tượng. Tìm một phân vùng ẩn trong một môi trường ngẫu nhiên là một vấn đề chung và quan trọng, trong đó có các vấn đề phụ là nhiều câu hỏi nổi tiếng, chẳng hạn như tìm một cụm ẩn, tìm màu ẩn, tìm một ẩn hai, v.v. Trong bài báo này, chúng tôi cung cấp một SVD đơn giản thuật toán cho mục đích này, trả lời một câu hỏi của McSherry. Thuật toán này rất dễ thực hiện và hoạt động đối với các biểu đồ thưa thớt với mật độ tối ưu.