Độ phức tạp tính toán của pi

Để cho

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(trong đó được coi là được mã hóa dưới dạng nhị phân). Vậy thì chúng ta có thể nói gì về độ phức tạp tính toán của ? Rõ ràng là . Và nếu tôi không nhầm, thuật toán "BBP-type" tuyệt vời để tính toán bit của sử dụng thời gian quasilinear và bộ nhớ , mà không cần phải tính toán các bit trước đó, mang lại . $n$ $L$ $L\in\mathsf{EXP}$ $n^{th}$ $\pi$ $(\log n)^{O(1)}$ $L\in\mathsf{PSPACE}$

Chúng ta có thể làm tốt hơn nữa và đặt (nói) trong hệ thống phân cấp đếm không? Theo hướng khác, có bất kỳ kết quả độ cứng nào đối với (thậm chí là cực kỳ yếu, như trễ) không? $L$ $L$ $\mathsf{TC}^0$

Một ngôn ngữ liên quan thú vị là

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(trong đó một lần nữa, được viết dưới dạng nhị phân). Chúng ta có $t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

và do đó ; Tôi sẽ vô cùng thích thú nếu biết bất cứ điều gì tốt hơn. $L' \in \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory na.numerical-analysis

— Scott Aaronson
nguồn

(1) Bởi vì là số siêu việt nổi tiếng nhất và người ta biết rất nhiều về nó. (2) Bởi vì tôi muốn một ví dụ cụ thể. (Tất nhiên, tôi cũng rất quan tâm đến các câu hỏi tương tự cho , , v.v., ở bất kỳ mức độ nào các câu trả lời khác nhau.) (3) Bởi vì, đối với Chaitin , tôi đã biết câu trả lời : cụ thể là tính toán chữ số nhị phân là không thể tính toán được! (Và tôi đoán rằng có thể giảm bớt cho thấy vấn đề tìm kiếm tiếp theo là không thể giải quyết được đối với ... có ai thấy thế nào không?)

π

$\pi$

e

$e$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Ω

$\Omega$

n^{t h}

$n^{th}$

Ω

$\Omega$

— Scott Aaronson

@ScottAaronson, tôi nghĩ rằng chúng ta có thể lặp lại trên tất cả các chuỗi có độ dài và hỏi xem có trong ngôn ngữ không; này mang lại cho tất cả những người đầu tiên chúng tôi bit .

x

$x$

t

$t$

⟨ x, t ⟩

$\langle x, t \rangle$

t

$t$

Ω

$\Omega$

— usul

Tôi có một ngôn ngữ "kiểu lý thuyết số" tương tự: :-)

L = {n ∣ the second lower bit of the n -th prime number is 1}

$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

Nhân tiện, tôi đã kiểm tra Weihrauch, ở cuối phần 7.2, nó nói rằng bit thứ n của hàm lượng giác và nghịch đảo của chúng có thể được tính toán trong thời gian bằng cách sử dụng biểu diễn chữ số đã ký (cho phép trong thêm và dưới dạng chữ số) trên các tập con nhỏ gọn trong miền của chúng. ( là độ phức tạp của phép nhân số nguyên nhị phân.)

t_{m} (n) \lg n

$t_m(n) \lg n$

- 1

$-1$

0

$0$

1

$1$

t_{m}

$t_m$

— Kaveh

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

OK, James Lee đã chỉ cho tôi bài báo năm 2011 này của Samir Datta và Rameshwar Pratap, điều đó chứng tỏ rằng ngôn ngữ của tôi (mã hóa các chữ số của ) nằm ở cấp độ thứ tư của hệ thống phân cấp đếm ( ; cảm ơn SamiD bên dưới vì đã chỉ ra một bị thiếu trong bài báo mà tôi chỉ đơn giản nhắc lại trong câu trả lời của mình! ). Bài viết cũng thảo luận rõ ràng câu hỏi của tôi về giới hạn thấp hơn về độ phức tạp của việc tính toán các chữ số nhị phân của các số vô tỷ, mặc dù nó chỉ quản lý để chứng minh một giới hạn dưới rất yếu để tính các chữ số nhị phân của các số hữu tỷ. Điều này thật đúng với gì mà tôi đã tìm kiếm. $L$ $\pi$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$ $\mathsf{PP}$

Cập nhật (ngày 3 tháng 4): Hậu quả thú vị của các chữ số của có thể tính toán được trong hệ thống phân cấp đếm như sau. Giả sử là một số bình thường (có khai triển nhị phân hội tụ nhanh đến "ngẫu nhiên hiệu quả") và giả sử rằng (với mô phỏng chỉ liên quan đến một tổng thể đa thức nhỏ). Sau đó, có thể lập trình máy tính của bạn để tìm, ví dụ, sự xuất hiện đầu tiên của các tác phẩm hoàn chỉnh của Shakespeare trong bản mở rộng nhị phân của . Nếu điều đó nghe có vẻ vô lý với bạn, thì có lẽ nó nên được lấy làm bằng chứng bổ sung rằng . :-) $\pi$ $\pi$ $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ $\pi$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

— Scott Aaronson
nguồn

OK, nhưng nó nói tôi phải đợi 5 giờ trước khi làm như vậy!

— Scott Aaronson

BTW, Bài viết được đề cập ở trên về cơ bản làm giảm vấn đề thành và trích dẫn sai ràng buộc là . Giới hạn được biết đến nhiều nhất hiện tại là như được hiển thị ở đây: eccc.hpi-web.de/report/2013/177

B i t S L P

$\mathsf{BitSLP}$

P H^{P P^{P P}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$

P H^{P P^{P P^{P P}}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD