Tại sao Coq có Prop?

Coq có một loại Prop của các đề xuất không liên quan được loại bỏ trong quá trình trích xuất. Lý do để có điều này là gì nếu chúng ta chỉ sử dụng Coq cho bằng chứng. Prop là không bắt buộc, vì vậy Prop: Prop, tuy nhiên, Coq tự động xâm nhập vào các chỉ mục vũ trụ và chúng ta có thể sử dụng Loại (i) thay vì ở mọi nơi. Có vẻ như Prop làm phức tạp mọi thứ rất nhiều.

Tôi đọc rằng có những lý do triết học để tách Set và Prop trong cuốn sách của Luo, tuy nhiên, tôi đã không tìm thấy chúng trong cuốn sách. Họ là ai?

rất hữu ích để trích xuất chương trình vì nó cho phép chúng ta xóa các phần mã vô dụng. Ví dụ, để trích xuất một thuật toán sắp xếp chúng tôi sẽ chứng minh các tuyên bố "cho mọi danh sách ℓ có một danh sách k mà k được ra lệnh và k là một permutatiom của ℓ ". Nếu chúng ta viết điều này xuống Coq và giải nén mà không sử dụng P r o p , chúng ta sẽ nhận được:$\mathtt{Prop}$$\ell$$k$$k$$k$$\ell$$\mathtt{Prop}$

1. "cho tất cả có k " sẽ cho chúng ta một bản đồ mà mất danh sách các danh sách,$\ell$$k$sort
2. "sao cho được ra lệnh" sẽ đưa ra một funciton chạy qua k và kiểm tra xem nó đã được sắp xếp chưa, và$k$verify$k$
3. " là hoán vị của ℓ " sẽ cho phép hoán vị mất ℓ đến k . Lưu ý rằng đó không chỉ là ánh xạ, mà còn là ánh xạ ngược cùng với các chương trình xác minh rằng hai bản đồ thực sự là nghịch đảo.$k$$\ell$pi$\ell$$k$pi

Mặc dù các công cụ bổ sung không hoàn toàn vô dụng, nhưng trong nhiều ứng dụng, chúng tôi muốn loại bỏ nó và giữ lại sort. Điều này có thể được thực hiện nếu chúng ta sử dụng trạng thái " k được ra lệnh" và " k là một hoán vị của ℓ ", nhưng không "cho tất cả ℓ có k ".$\mathtt{Prop}$$k$$k$$\ell$$\ell$$k$

Nói chung, một cách phổ biến để trích xuất mã là xem xét một tuyên bố có dạng mà x là đầu vào, y là đầu ra, và φ ( x , y ) giải thích ý nghĩa của nó đối với y là một đầu ra chính xác. (Trong ví dụ trên A và B là các loại danh sách và ϕ ( ℓ , k ) là " k được sắp xếp và k là hoán vị của ℓ .") Nếu ϕ nằm trong P r o p thì trích xuất sẽ cho bản đồ f $\forall x : A \,.\, \exists y : B \,.\, \phi(x, y)$$x$$y$$\phi(x,y)$$y$$A$$B$$\phi(\ell, k)$$k$$k$$\ell$$\phi$$\mathtt{Prop}$ mà φ ( x , f ( x ) ) giữ cho tất cả x ∈ A . Nếu φ là trong S e t thì chúng ta cũng có được một hàm g mà g ( x ) là bằng chứng cho thấy φ ( x , f ( x ) ) nắm giữ, cho tất cả x ∈ $f : A \to B$$\phi(x, f(x))$$x \in A$$\phi$$\mathtt{Set}$$g$$g(x)$$\phi(x, f(x))$$x \in A$. Thông thường bằng chứng là vô dụng về mặt tính toán và chúng tôi muốn loại bỏ nó, đặc biệt khi nó được lồng sâu bên trong một số tuyên bố khác. cho chúng ta khả năng để làm như vậy.$\mathtt{Prop}$

Đã thêm 2015-07-29: Có một câu hỏi liệu chúng ta có thể tránh hoàn toàn hay không bằng cách tự động tối ưu hóa "mã trích xuất vô dụng". Ở một mức độ nào đó, chúng ta có thể làm điều đó, ví dụ, tất cả các mã được trích xuất từ ​​đoạn logic phủ định (thứ được xây dựng từ loại trống, loại đơn vị, sản phẩm) là vô dụng vì nó chỉ xáo trộn xung quanh đơn vị. Nhưng có những quyết định thiết kế chính hãng người ta phải đưa ra khi sử dụng P r o p . Dưới đây là một ví dụ simpe, nơi Σ phương tiện mà chúng tôi đang trong T y p e và ∃ phương tiện chúng ta đang ở P r o p . Nếu chúng tôi trích xuất từ $\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\Sigma$$\mathsf{Type}$$\exists$$\mathsf{Prop}$ chúng ta sẽ nhận được một chương trình phân hủy n vào bit của nó thấp nhất b và các bit còn lại k , tức là nó sẽ tính toán tất cả mọi thứ. Nếu chúng ta trích xuất từ Π n : N Σ b : { 0 , 1 } ∃ k :

làimpredicative, mà tạo ra một hệ thống chứng minh rất biểu cảm. Tuy nhiên, đó là "quá" biểu cảm theo nghĩa sau:$\mathrm{Prop}$

không nhất quán Thông thường, bạn muốn giữ khả năng thêm trung gian bị loại trừ, vì vậy một giải pháp là tiếp tục loại bỏ lớn và đưa ra dự đoán Prop. Khác là để đàn áp loại bỏ lớn.

Coq đã làm cả hai! Họ đổi tên Prop dự đoán thành Set và vô hiệu hóa loại bỏ lớn trong Prop.

Tính biểu cảm đạt được bởi sự thiếu sót là "trấn an" theo nghĩa 99% toán học "hợp lý" có thể được chính thức hóa với nó, và nó được biết là phù hợp với lý thuyết tập hợp. Điều này có khả năng họ sẽ không làm suy yếu nó thành một thứ như Agda, nơi chỉ có vũ trụ dự đoán.

Ngay cả khi bạn không quan tâm đến việc trích xuất các chương trình, thì thực tế Proplà không cần thiết cho phép bạn xây dựng một số mô hình mà bạn không thể xây dựng bằng cách sử dụng một tháp vũ trụ dự đoán. IIRC Thorsten Altenkirch có một mô hình của Hệ thống F bằng cách sử dụng tính ngẫu nhiên của Coq.