Làm thế nào mạnh mẽ là chính xác điện toán lượng tử chính xác nếu bạn đình chỉ tính phi quân sự?

Câu hỏi ngắn.

Sức mạnh tính toán của các mạch "lượng tử" là gì, nếu chúng ta cho phép các cổng không đơn nhất (nhưng vẫn không thể đảo ngược) và yêu cầu đầu ra đưa ra câu trả lời chính xác một cách chắc chắn?

Câu hỏi này có ý nghĩa về những gì xảy ra với lớp khi bạn cho phép các mạch sử dụng nhiều hơn chỉ là các cổng đơn nhất. (Chúng tôi vẫn buộc phải hạn chế các cổng không thể đảo qua C nếu chúng tôi muốn có một mô hình tính toán được xác định rõ.)$\mathsf{EQP}$$\mathbb C$

(Câu hỏi này đã trải qua một số sửa đổi trong bối cảnh của một số nhầm lẫn về phần kết quả đã biết về các mạch như vậy trong trường hợp đơn nhất.)

Về tính toán lượng tử "chính xác"

Tôi xác định vì câu hỏi này là loại vấn đề có thể được giải quyết chính xác bởi một họ mạch lượng tử đồng nhất, trong đó các hệ số của mỗi đơn vị được tính toán bằng các máy Turing giới hạn thời gian đa thức (từ chuỗi đầu vào 1 n ) cho mỗi kích thước đầu vào n và bố trí của mạch như một mạng có hướng cũng có thể được tạo ra trong thời gian đa thức. Bằng cách "giải quyết" chính xác, ý tôi là việc đo năng suất bit đầu ra | 0 ⟩ một cách chắc chắn cho NO trường hợp, và | 1 $\mathsf{EQP}$$1^n$$n$$|0\rangle$$|1\rangle$ một cách chắc chắn cho trường hợp YES.

Hãy cẩn thận:

• Ngay cả khi giới hạn ở các cổng đơn nhất, khái niệm này khác với mô tả của Bernstein và Vazirani khi sử dụng máy Turing lượng tử. Định nghĩa ở trên cho phép một họ mạch { C n } về nguyên tắc có một bộ cổng vô hạn - tất nhiên mỗi mạch C n chỉ sử dụng một tập hợp con hữu hạn - bởi vì các cổng có hiệu lực được tính từ các đầu vào. (Một máy Turing lượng tử có thể mô phỏng bất kỳ bộ cổng hữu hạn nào bạn thích, nhưng chỉ có thể mô phỏng các bộ cổng hữu hạn, bởi vì nó chỉ có số lần chuyển tiếp hữu hạn.)$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• Mô hình tính toán này tầm thường hóa bất kỳ vấn đề nào trong , bởi vì đơn vị có thể chứa một cổng duy nhất mã hóa giải pháp cho bất kỳ vấn đề nào trong P (hệ số của nó sau tất cả được xác định bằng tính toán đa thời gian). Vì vậy, sự phức tạp về thời gian hoặc không gian cụ thể của các vấn đề không nhất thiết phải thú vị đối với các mạch như vậy.$\mathsf P$$\mathsf P$

Chúng ta có thể thêm vào những cảnh báo này rằng việc triển khai thực tế các máy tính lượng tử sẽ có tiếng ồn. Mô hình này tính toán là thú vị chủ yếu vì lý do lý thuyết , là một quan tâm đến việc sáng tác biến đổi unita chứ không phải tính toán khả thi, và cũng là một phiên bản chính xác của . Đặc biệt, mặc dù cẩn thận ở trên, chúng ta có P ⊆ E Q P ⊆ B Q P .$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

Lý do cho việc xác định theo cách tôi làm là để rời rạc LOG thể được đưa vào E Q P . Theo [  Mosca + Zalka 2003  ], có một thuật toán đa thức thời gian để xây dựng một mạch đơn nhất giải quyết chính xác các trường hợp của DISCRLEX-LOG bằng cách tạo ra các phiên bản chính xác của QFT tùy thuộc vào mô đun đầu vào. Tôi tin rằng sau đó chúng ta có thể đặt DISCRLEX-LOG vào E Q P , như được định nghĩa ở trên, bằng cách nhúng các yếu tố xây dựng mạch vào cách tính hệ số cổng. (Vì vậy, kết quả rời rạc LOG ∈ E Q $\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$ về cơ bản giữ bởi fiat, nhưng dựa vào việc xây dựng các Mosca + Zalka.)

Đình chỉ

Đặt là lớp tính toán mà chúng ta nhận được nếu chúng ta tạm dừng các hạn chế rằng các cổng là đơn nhất và cho phép chúng vượt qua các biến đổi khả nghịch. Chúng ta có thể đặt lớp này (hoặc thậm chí đặc trưng cho nó) theo các lớp C không xác định truyền thống khác không ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

Một trong những lý do của tôi để hỏi: nếu là loại vấn đề có thể giải quyết một cách hiệu quả với lỗi bị ràng buộc , bởi các họ mạch "lượng tử không đơn nhất" thống nhất - trong đó các trường hợp CÓ cho đầu ra là | 1 ⟩ với xác suất ít nhất 2/3, và NO trường hợp với xác suất tối đa là 1/3 (sau khi bình thường hóa bang vector) - sau đó [Aaronson 2005] cho thấy B Q P G L = P $\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$ . Đó là: đình chỉ sự không công bằng trong trường hợp này tương đương với việc cho phép lỗi không bị ràng buộc.

Liệu một kết quả tương tự, hoặc bất kỳ kết quả rõ ràng nào, có được cho không?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

Câu trả lời ngắn. Nó chỉ ra rằng việc đình chỉ yêu cầu của các phép biến đổi đơn nhất và yêu cầu mỗi phép toán phải không thể đảo ngược, làm phát sinh các lớp có thể xác định khoảng cách chính xác. Các lớp cụ thể trong câu hỏi là và một lớp con 'mới' L P W P P , cả hai đều ngồi giữa S P P và C = P . Các lớp này có định nghĩa kỹ thuật khá, được mô tả ngắn gọn dưới đây; mặc dù về nguyên tắc, các định nghĩa này hiện có thể được thay thế bằng các thuật toán theo thuật toán "giống như lượng tử" không đơn nhất.$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

Lớp đếm chứa GRAPH ISOMORPHISM. Nó cũng chứa toàn bộ lớp U P , vì vậy chúng tôi sẽ không mong đợi chính xác đơn nhất các thuật toán lượng tử để mạnh mẽ như các lớp học không đồng nhất (như chúng ta nếu không có thể hiển thị N P ⊆ B Q P ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

Câu trả lời dài hơn.

• Trong câu hỏi của tôi, tôi đã đề xuất xác định lại để cho phép các vấn đề có thể giải quyết được bởi các họ mạch đồng nhất sử dụng các cổng có thể tính toán hiệu quả, nhưng không nhất thiết phải được rút ra từ một bộ cổng hữu hạn. Tôi không còn chắc chắn rằng đó là một ý tưởng tốt để xác định lại E Q P theo cách này, mặc dù tôi tin rằng các gia đình mạch như vậy là đáng để nghiên cứu. Thay vào đó, chúng ta có thể gọi lớp này giống như U n i t a r y P $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  Có thể thấy rằng , mà cho đến gần đây là tốt nhất được biết đến ràng buộc cho E Q P . Lớp L W P P nhiều hơn hoặc ít hơn tương ứng với các vấn đề có thuật toán ngẫu nhiên, trong đó KHÔNG có trường hợp nào tạo ra kết quả 1 với xác suất chính xác là 0,5 và các trường hợp CÓ tạo ra kết quả là 1 với một số xác suất có thể có hiệu quả và được tính toán chính xác ở dạng hợp lý, lớn hơn (nhưng có thể gần theo cấp số nhân) 0,5. Định nghĩa kỹ thuật của L W $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LWPP}$ is presented in terms of nondeterministic Turing machines, but is no more illuminating.

  If we define $\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$ to be the invertible-gate equivalent of $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$, so that it is the set of problems which are exactly solvable by invertible circuit families with efficiently computable gate coefficients, then $\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$.

• $\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$, for some polynomial $p$, some integer $m$, and some efficiently computable polynomial $t$.)

  If we define $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$ to be the invertible-gate equivalent of $\mathsf{EQP}$ as it is normally defined, we may show that $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$.

A correction regarding DISCRETE LOG.

The results above rely on standard techniques to represent algebraic coefficients, in a way which is independent of the input (but which may depend on input size). In the description of the original question, I claimed that [ Mosca+Zalka 2003 ] show that DISCRETE LOG is exactly solvable by a gate-set with efficiently computable coefficients. The truth appears to be more complicated. If one cares about exact solvability, then I consider exact representation of the coefficients to be important: but Mosca and Zalka do not provide a way of doing this in an input-dependent way. So it is not obvious that DISCRETE LOG is in fact in $\mathsf{EQP}$ or in the new class $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$.

Reference.

• de Beaudrap, On exact counting and quasi-quantum complexity, [arXiv:1509.07789].