Có nên giảm bớt làm cho chúng ta ít nhiều lạc quan cho khả năng dễ dàng của một vấn đề?

Dường như với tôi rằng hầu hết các nhà lý thuyết phức tạp thường tin rằng quy tắc triết học sau đây:

Nếu chúng ta không thể tìm ra một thuật toán hiệu quả cho vấn đề $A$ , và chúng ta có thể giảm bớt vấn đề $A$ vấn đề $B$ , sau đó có lẽ không phải là một thuật toán hiệu quả cho vấn đề $B$ , một trong hai.

Đây là lý do tại sao, ví dụ, khi một vấn đề mới được chứng minh NP-Hoàn, chúng tôi chỉ đơn giản là nộp nó đi là "quá khó" chứ không phải là bị kích thích về một cách tiếp cận mới (vấn đề $B$ ) mà cuối cùng có thể hiển thị $P = NP$ .

Tôi đã thảo luận điều này với một sinh viên tốt nghiệp trong một lĩnh vực khoa học khác. Cô thấy ý tưởng này cực kỳ phản trực giác. Sự tương tự của cô ấy:

Bạn là một nhà thám hiểm, tìm kiếm một cây cầu giữa lục địa Bắc Mỹ và châu Á. Trong nhiều tháng, bạn đã cố gắng và thất bại trong việc tìm một cây cầu trên đất liền từ khu vực Hoa Kỳ đến châu Á. Sau đó, bạn phát hiện ra rằng Hoa Kỳ đại lục được kết nối bằng đường bộ đến khu vực Alaska. Bạn nhận ra rằng một cây cầu trên đất liền từ Alaska đến Châu Á sẽ ám chỉ một cây cầu trên đất liền từ Hoa Kỳ đến Châu Á, mà bạn chắc chắn không tồn tại. Vì vậy, bạn không lãng phí thời gian khám phá gần Alaska; bạn chỉ cần về nhà

Quy tắc triết học trước đây của chúng tôi nghe có vẻ khá ngớ ngẩn trong bối cảnh này. Tôi không thể nghĩ về một phản bác tốt! Vì vậy, tôi chuyển nó cho các bạn: Tại sao chúng ta nên coi việc giảm là làm cho vấn đề B trở nên khó khăn hơn thay vì làm cho vấn đề A trở nên dễ dàng hơn?$A \to B$$B$$A$

Tôi nghĩ rằng đây là một câu hỏi rất hay. Để trả lời, chúng ta cần nhận ra rằng:

• không phải tất cả các mức giảm đều giống nhau,
• để cảm thấy lạc quan, chúng ta cần học một cái gì đó thực sự hữu ích.

Thông thường, bất cứ khi nào chúng tôi phát hiện ra mức giảm không cần thiết , nó sẽ thuộc một trong các loại sau:$A \to B$

1. Chúng tôi đã học được điều gì đó hữu ích về vấn đề A (và không có gì về vấn đề B).
2. Chúng tôi đã học được điều gì đó làm nản lòng về vấn đề B (và không có gì về vấn đề A).

Chính xác hơn một chút, hai trường hợp này có thể được mô tả như sau:

1. Chúng tôi đã phát hiện ra rằng vấn đề A có một số cấu trúc ẩn, giúp thiết kế một thuật toán mới, thông minh để giải quyết vấn đề A. Chúng tôi chỉ cần biết cách giải quyết vấn đề B.

2. Chúng tôi nhận ra rằng trong một số trường hợp đặc biệt, vấn đề B về cơ bản chỉ là vấn đề A được ngụy trang. Bây giờ chúng ta có thể thấy rằng bất kỳ thuật toán nào để giải quyết vấn đề B phải giải quyết ít nhất các trường hợp đặc biệt này một cách chính xác; và giải quyết các trường hợp đặc biệt này về cơ bản tương đương với giải quyết vấn đề A. Chúng ta quay lại hình vuông: để đạt được bất kỳ tiến triển nào với vấn đề B, trước tiên chúng ta cần thực hiện một số tiến bộ với vấn đề A.

Giảm loại 1 là phổ biến trong bối cảnh kết quả tích cực, và đây chắc chắn là những lý do tốt để cảm thấy lạc quan.

Tuy nhiên, nếu bạn xem xét việc giảm độ cứng mà chúng ta gặp phải trong bối cảnh, ví dụ, bằng chứng độ cứng NP, chúng hầu như luôn luôn thuộc loại 2.

Lưu ý rằng ngay cả khi bạn không biết gì về độ phức tạp tính toán của vấn đề A hoặc vấn đề B, bạn vẫn có thể biết liệu mức giảm của bạn thuộc loại 1 hay loại 2. Do đó, chúng tôi không cần phải tin vào, ví dụ: P ≠ NP để xác định xem chúng ta nên cảm thấy lạc quan hay bi quan. Chúng ta chỉ có thể thấy những gì chúng ta đã học được nhờ giảm.

Điều còn thiếu từ sự tương tự là một số khái niệm về khoảng cách tương đối liên quan. Chúng ta hãy thay thế Alaska tương tự với mặt trăng:

Bạn là một nhà thám hiểm, tìm kiếm một cây cầu giữa lục địa Bắc Mỹ và châu Á. Trong nhiều tháng, bạn đã cố gắng và thất bại trong việc tìm một cây cầu trên đất liền từ khu vực Hoa Kỳ đến châu Á. Sau đó, bạn phát hiện ra rằng Hoa Kỳ đại lục được kết nối bằng đường bộ đến mặt trăng. Bạn đã tự tin rằng mặt trăng cách xa châu Á rất xa, vì vậy bây giờ bạn có thể tự tin rằng Bắc Mỹ cũng cách châu Á rất xa bởi sự bất bình đẳng tam giác.

Không phải sự thật là chúng ta luôn xem các định lý khử là các tuyên bố độ cứng. Ví dụ, trong các thuật toán, chúng tôi thường giảm một vấn đề sang LP và SDP để giải quyết chúng. Chúng không được hiểu là kết quả độ cứng mà là kết quả thuật toán. Tuy nhiên, mặc dù chúng là những giảm thiểu về mặt kỹ thuật, chúng ta thường không đề cập đến những điều này như vậy. Những gì chúng tôi muốn nói là giảm thường là giảm một số vấn đề khó (NP-).

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. Hầu hết các nhà nghiên cứu nhận thấy nhiều khả năng P không bằng NP, và thậm chí phỏng đoán rằng SAT đòi hỏi thời gian theo cấp số nhân. Nói cách khác, SAT được cho là rất khó. Nếu bạn chấp nhận những phỏng đoán này thì hoàn toàn hợp lý khi xem xét các mức giảm chứng minh tính phổ biến của một vấn đề đối với NP vì vấn đề này rất khó. (Tại sao các nhà nghiên cứu thấy P không bằng NP nhiều khả năng là một vấn đề khác, đã có một số bài đăng blog trên blog lý thuyết về điều đó.)

Một phần lý do chúng tôi thay thế giới hạn thấp hơn bằng kết quả phổ cập (nghĩa là có sự giảm bớt từ mọi vấn đề trong lớp sang vấn đề) là do chúng tôi không thành công trong việc chứng minh giới hạn chung tốt (phù hợp với tình trạng kiến ​​thức hiện tại SAT có thể được giải trong thời gian xác định tuyến tính).

Trên thực tế, việc phát hiện ra Alaska sẽ có tác dụng ngược lại, ít nhất là vào lúc đầu. Kể từ khi nó kéo dài cho đến nay phía tây, nó sẽ làm cho mọi người nghĩ rằng, hey, có lẽ đó là một cây cầu đất, sau khi tất cả (tương tự hạnh phúc, hey, có lẽ P  =  NP vì đây mới NP vấn đề -complete trông giống như như một ứng cử viên tốt cho có một giải pháp đa thức thời gian). Tuy nhiên, một khi Alaska đã được khám phá kỹ lưỡng và không có cây cầu đất nào được tìm thấy, mọi người có lẽ sẽ bị thuyết phục hơn trước khi châu Á và châu Mỹ tách biệt.

câu hỏi giới thiệu một phép so sánh / ẩn dụ cụ thể không được các chuyên gia sử dụng nhiều và chỉ tập trung vào P / NP & không đề cập đến bất kỳ lớp phức tạp nào khác, trong khi các chuyên gia có xu hướng xem nó như một vũ trụ lớn của các thực thể như trong sơ đồ đáng chú ý do Kuperberg tạo ra . Sẽ là gọn gàng để biên dịch một danh sách lớn các tương tự của các lớp phức tạp, có nhiều tương tự như vậy. nó nói về các vấn đề "nộp đi" được chứng minh là NP hoàn thành và "hứng thú với các phương pháp mới".

người ta có thể hiểu rằng có "hứng thú" ban đầu khi khám phá lớp NP hoàn chỉnh, nhưng một số "hứng thú" đã phai mờ sau hơn bốn thập kỷ nỗ lực mãnh liệt để chứng minh P ≠ NP dường như không đi đến đâu hứa hẹn và một số nhà nghiên cứu cảm thấy rằng chúng ta không gần hơn. lịch sử đầy những nhà nghiên cứu đã dành nhiều năm làm việc cho các vấn đề mà không có bất kỳ tiến triển rõ ràng nào đôi khi có sự hối tiếc về sau. vì vậy NP hoàn thành có thể phục vụ (mượn sự tương tự của Aaronson) như một loại "hàng rào điện", một cảnh báo / cảnh báo không được tham gia quá nhiều vào các nỗ lực (ở đây theo nghĩa đen, theo nhiều cách hơn một) vấn đề "khó hiểu".

đúng là có một khía cạnh chính của việc "lập danh mục" các vấn đề hoàn chỉnh của NP vẫn còn tiếp diễn. tuy nhiên, nghiên cứu "chi tiết hơn" về các vấn đề hoàn chỉnh NP quan trọng (SAT, phát hiện cụm, v.v.) vẫn tiếp tục. (thực ra là một hiện tượng rất giống xảy ra với các vấn đề không thể giải quyết được: một khi đã được chứng minh là không thể giải quyết được, thì dường như chúng được cai trị là "vùng đất không có người" để tìm hiểu thêm.)

vì vậy tất cả các vấn đề hoàn chỉnh của NP đều được chứng minh tương đương với lý thuyết hiện tại và điều này đôi khi thể hiện ở những phỏng đoán nổi bật như Berman-Hartmanis phỏng đoán đẳng cấu . Các nhà nghiên cứu hy vọng rằng điều này sẽ thay đổi một ngày nào đó.

Câu hỏi này được dán nhãn soft-questionvới lý do tốt. bạn sẽ không tìm thấy các nhà khoa học nghiêm túc thảo luận nhiều về các chất tương tự trong bài báo của họ, điều này hướng đến khoa học phổ biến , thay vào đó thích tập trung vào độ chính xác / chặt chẽ toán học (và như được nhấn mạnh trong hướng dẫn giao tiếp cho nhóm này). tuy nhiên có một số giá trị ở đây để giáo dục và giao tiếp với người ngoài / giáo dân.

đây là một vài "phản biện" cho giáo dân cùng với "các nghiên cứu dẫn" đến các khái niệm. điều này có thể được thực hiện thành một danh sách dài hơn.

• có một sự tương tự của các lãnh thổ trong câu hỏi. nhưng nó có ý nghĩa hơn khi nghĩ về các khu vực chính của lý thuyết phức tạp bao gồm cả trong các lớp được biết đến như terra incognita . nói cách khác, có một vùng P giao nhau NP. cả P và NP đều được hiểu khá rõ nhưng không biết khu vực P ⋂ NP-hard (P giao nhau NP-hard) có trống hay không.

• Aaronson gần đây đã đưa ra phép ẩn dụ của hai loại ếch rõ ràng khác nhau không bao giờ trộn lẫn với P / NP. ông cũng đề cập đến "hàng rào điện vô hình" giữa hai người.

• vật lý hạt nghiên cứu mô hình chuẩn. vật lý nghiên cứu thành phần của các hạt giống như lý thuyết phức tạp nghiên cứu thành phần của các lớp phức tạp. trong vật lý có một số điểm không chắc chắn về cách một số hạt sinh ra các hạt khác ("thiết lập ranh giới") giống như trong lý thuyết phức tạp.

• "Sở thú phức tạp" , giống như rất nhiều động vật kỳ lạ có khả năng khác nhau, một số nhỏ / yếu và một số lớn / mạnh mẽ.

• các lớp phức tạp giống như một sự liên tục thời gian / không gian trơn tru như được thấy trong các định lý phân cấp Thời gian / Không gian với các "điểm chuyển tiếp" chính (đáng ngạc nhiên khá giống với sự chuyển pha pha vật chất) giữa các trạng thái khác nhau.

• máy Turing là máy có "bộ phận chuyển động" và máy hoạt động tương đương với phép đo năng lượng và chúng có số đo thời gian / không gian . vì vậy các lớp phức tạp có thể được xem là "năng lượng" liên quan đến các phép biến đổi đầu vào-đầu ra của hộp đen.

• có rất nhiều điểm tương đồng có thể có trong lịch sử Toán học, tức là vấn đề bình phương đường tròn, tìm các giải pháp đại số cho phương trình tinh túy, vân vân.

• Thế giới của Impaggliazo

• Cuốn sách mới của Fortnows chứa nhiều tương tự khoa học phổ biến để khai thác.

• Mã hóa / Giải mã: Turing nổi tiếng đã làm việc này trong Thế chiến II và rất nhiều định lý chứng minh về sự khác biệt trong các lớp phức tạp có vẻ tương tự như các vấn đề giải mã. điều này được làm cho vững chắc hơn với các bài báo như Bằng chứng tự nhiên trong đó việc tách lớp phức tạp có liên quan trực tiếp đến việc "phá vỡ" các trình tạo số ngẫu nhiên giả.

• Nén / giải nén: các lớp phức tạp khác nhau cho phép / biểu diễn số lượng nén dữ liệu khác nhau. ví dụ giả sử P / poly chứa NP. điều đó có nghĩa là có các thực thể "nhỏ hơn" (cụ thể là các mạch) có thể "mã hóa" các vấn đề hoàn chỉnh NP "lớn hơn", tức là các cấu trúc (dữ liệu) lớn hơn có thể được "nén" một cách hiệu quả thành các cấu trúc (dữ liệu) nhỏ hơn.

• dọc theo sở thú / động vật tương tự, có một người mù mạnh mẽ và khía cạnh voi với lý thuyết phức tạp. lĩnh vực này vẫn còn rõ ràng / có thể là trong các giai đoạn đầu của một vòng cung rất dài (điều này không hợp lý hoặc chưa từng nghe thấy về các lĩnh vực toán học khác có các thế kỷ hoặc thậm chí là milimet) và nhiều kiến ​​thức có thể được xem là một phần, rời rạc và phân mảnh.

Vì vậy, trong ngắn hạn, câu hỏi hỏi về "sự lạc quan liên quan đến giảm". các nhà khoa học thường kiềm chế cảm xúc hoặc thậm chí cười nhạo họ đôi khi trong tìm kiếm hoàn toàn hợp lý của họ. có sự cân bằng của cả sự bi quan lâu dài và sự lạc quan thận trọng trong lĩnh vực này & trong khi có một số chỗ cho sự không chính thức, tất cả các nhà nghiên cứu nghiêm túc nên cố gắng hướng tới sự công bằng trong thái độ chuyên nghiệp của họ như là một phần của mô tả công việc. có thể hiểu một cách tập trung vào những chiến thắng nhỏ và chủ nghĩa gia tăng và không bị "mang đi".