Cắt tỉa một sơ đồ kết nối mạnh mẽ

Với một sơ đồ G được kết nối mạnh với các cạnh có trọng số, tôi muốn xác định các cạnh có thể không phải là một phần của bất kỳ sơ đồ con được kết nối mạnh tối thiểu (MSCS) nào của G.

Một phương pháp để tìm các cạnh như vậy là thuật toán Floyd-Warshall đã được sửa đổi. Sử dụng thuật toán Floyd-Warshall, người ta có thể xác định các cạnh nào không bao giờ là lựa chọn tốt nhất để đi từ đỉnh i đến j. Các nút này không thể là một phần của MSCS vì tốt hơn là thay thế chúng bằng hai hoặc nhiều cạnh khác.

Kỹ thuật cắt tỉa Floyd-Warshall hoạt động khá tốt khi trọng lượng cạnh thay đổi đáng kể, nhưng rất kém khi trọng lượng cạnh tương tự nhưng lớn về độ lớn.

Bạn có biết bất kỳ phương pháp cắt tỉa hiệu quả cho trọng lượng cạnh lớn, tương tự? Vấn đề này có tương đương với một vấn đề phổ biến hơn mà tôi không nhận ra không? Loại cắt tỉa này đã được nghiên cứu trước đây trong tài liệu?

Chúng tôi giả định rằng trọng số cạnh là số nguyên dương. Cho một đồ thị có hướng G với trọng lượng cạnh, gọi một cạnh e dư thừa nếu e không thuộc về bất kỳ tối thiểu trọng lượng mạnh mẽ, kết nối kéo dài đồ thị con của G .

Chúng tôi khẳng định rằng trừ khi P = NP, không có thuật toán đa thức thời gian nào luôn tìm thấy cạnh thừa trong đồ thị có hướng cho trước với trọng số cạnh miễn là có một thuật toán. Chính xác hơn:

Định lý . Đưa ra một đồ thị có hướng G với trọng số cạnh, NP-khó tìm được cạnh thừa trong G hoặc tuyên bố rằng G không có cạnh thừa.

Bằng chứng . Quan sát chính là nếu G có một sơ đồ con kéo dài được kết nối mạnh có trọng số tối thiểu duy nhất , thì bạn có thể tính toán sơ đồ con đó bằng cách loại bỏ các cạnh dư thừa từng cái một. Do đó, vẫn còn cho thấy rằng tính duy nhất không làm cho vấn đề đồ thị kéo dài được kết nối mạnh mẽ trọng lượng tối thiểu trở nên dễ dàng hơn, nhưng điều này được chứng minh bằng Bổ đề tiếp theo. QED .

Bổ đề . Với đồ thị có hướng G với trọng số cạnh, NP-hard khó tính được trọng số của biểu đồ con kéo dài có trọng số tối thiểu của G ngay cả theo lời hứa rằng G có một sơ đồ kéo dài được kết nối mạnh nhất có trọng số tối thiểu.

Bằng chứng . Như bạn đã biết , vấn đề không có lời hứa là NP-hard (ngay cả đối với trường hợp trọng lượng đơn vị) bằng cách giảm từ vấn đề mạch Hamilton. Chúng tôi giảm bớt vấn đề mà không có lời hứa với vấn đề với lời hứa.

Đặt G là đồ thị có hướng với trọng số cạnh. Dán nhãn các cạnh của G bằng e ₀ , e ₁ , chụp, e _{m -1} , nơi m là số cạnh trong G . Đặt w _i là trọng số đã cho của cạnh e _i . Đặt trọng lượng mới w ′ _i = 2 ^m w _i +2 ⁱ . Sau đó, thật dễ dàng để xác minh rằng G với các trọng số mới có một sơ đồ kéo dài được kết nối mạnh mẽ có trọng số tối thiểu duy nhất. Nó cũng dễ dàng để xác minh rằng trọng lượng tối thiểuW của một sơ đồ kéo dài được kết nối mạnh trong G với các trọng số ban đầu có thể được tính từ trọng số tối thiểu W trong G với các trọng số mới là W = W / 2 ^m . QED .