Ví dụ về trường hợp vi phạm điều kiện tích cực nghiêm ngặt trong các loại quy nạp dẫn đến sự không nhất quán

Hầu hết các hệ thống gõ phụ thuộc có một điều kiện tích cực nghiêm ngặt cho các loại quy nạp. Có ai biết một ví dụ mà vi phạm điều kiện dẫn đến sự không nhất quán trong hệ thống không?

lo.logic type-theory dependent-type

— Konstantin Solomatov
nguồn

Nó thực sự có thể để thư giãn tích cực nghiêm ngặt và vẫn nhất quán. Ví dụ, nó chỉ có một điều kiện tích cực. Đó là, chúng ta có thể chấp nhận các định nghĩa kiểu như

T ≜ μ α . (α \to 2) \to 2

$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$

trong đó các biến kiểu đệ quy xuất hiện ở bên trái của một số mũi tên chẵn và duy trì tính nhất quán.

Tuy nhiên, các lý thuyết cho phép loại quy nạp này không có mô hình lý thuyết tập hợp - bạn không thể hiểu các loại là tập hợp và thuật ngữ là các phần tử của tập hợp. Trong trường hợp này, chúng tôi đang nói rằng là đẳng cấu với quyền hạn kép của nó (tức là ) và điều này vi phạm định lý của Cantor . $T$ $T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Vì các lý thuyết loại phụ thuộc thường được sử dụng để chính thức hóa toán học, các nhà thiết kế của họ thường ngần ngại thêm các nguyên tắc không tương thích với ngữ nghĩa lý thuyết tập hợp, ngay cả khi chúng phù hợp.

EDIT: Tôi đang thêm chỉnh sửa này để trả lời câu hỏi của Andrej. Loại phù hợp nếu bạn thêm nó vào (nói) Agda; không có vấn đề gì với nó cả Chúng tôi chỉ có một vấn đề nếu chúng tôi kết hợp tích cực không nghiêm ngặt với loại trừ giữa. $T$

Trực giác về lý do tại sao an toàn là (IMO) được nhìn thấy rõ nhất qua lăng kính của tham số. Trong Hệ thống F, chúng tôi có thể hiển thị bằng cách sử dụng tham số cho bất kỳ functor có thể xác định nào , loại thực sự là một loại quy nạp. $F$ $\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

Bây giờ, hãy nhớ rằng functor có thể xác định là toán tử loại , cùng với toán tử thỏa mãn các điều kiện functoriality (nghĩa là và ). $F$ $F : \ast \to \ast$

m a p : \forall α, β . (α \to β) \to F α \to F β

$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$

m a p i d = i d

$\mathrm{map}\;id = id$

m a p f \circ m a p g = m a p (f \circ g

$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Bây giờ, chúng ta có thể định nghĩa một toán tử loại cho bộ quyền lực kép

C = λ α . (α \to 2) \to 2

$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$

và vì chỉ xảy ra tích cực, chúng tôi cũng có thể xác định toán tử bản đồ cho nó: $\alpha$

m a p_{C} = λ f : α \to β, a^{'} : (α \to 2) \to 2, k : β \to 2. a^{'} (λ a : α . k (f a))

$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$

Vì vậy, chúng ta biết rằng là một loại quy nạp hợp pháp. $T = \mu C$

— Neel Krishnaswami
nguồn

Chúng ta có thể tự mình đưa ra một ví dụ tạo ra sự không nhất quán không? Ví dụ của bạn không nhất quán nếu chúng tôi cũng giả sử (đủ) loại trừ giữa.

— Andrej Bauer

Một lý do khác là chúng ta có thể thêm định lý FAN vào Agda, sau đó chúng ta có thể chứng minh rằng loại trong câu hỏi là (số đẳng cấu với) số tự nhiên.

— Andrej Bauer

Tôi đang nghĩ sẽ khá tệ.

μ α . (α \to 2) \to α

$\mu \alpha . (\alpha \to 2) \to \alpha$

— Andrej Bauer

Ah, tôi đã hiểu nhầm câu hỏi - vấn đề là sự tích cực nghiêm ngặt là một điều kiện đủ nhưng không cần thiết. Ví dụ của bạn (với sự xuất hiện tiêu cực thực tế) không nhất quán.

— Neel Krishnaswami

Vâng, tôi chỉ nhận ra rằng. Ví dụ của tôi không giữ nước.

— Andrej Bauer