không gian xác suất độc lập -wise

Tôi đã gặp rất nhiều khó khăn khi tìm một tài liệu tham khảo đưa ra lời giải thích đơn giản và dễ hiểu về những điều sau đây:

Giả sử chúng ta có biến ngẫu nhiên , mỗi biến bits dài. (Tức là với các giá trị trong ). Chúng tôi muốn một không gian xác suất trong đó mỗi không thiên vị (đảm nhận từng giá trị với xác suất chính xác là ) và có phụ thuộc . Nghĩa là, đối với mọi và bất kỳ chúng ta có $n$ $Y_1, \dots, Y_n$ $b$ $\{0, \dots, 2^b-1 \}$ $Y_i$ $2^{-b}$ $k$ $i_1 < \dots < i_k$ $y_1, \dots, y_k$

P (Y_{{Tôi}_{1}} = = y_{1} \land \dots \land Y_{{Tôi}_{k}} = = y_{k}) = = 2^{- k b}

$P(Y_{i_1} = y_1 \wedge \dots \wedge Y_{i_k} = y_k) = 2^{-k b}$

Khi bạn luôn có thể nhận được một không gian xác suất có kích thước và đôi khi bạn có thể nhận được - có bất kỳ tuyên bố rõ ràng nào về những điều này là có thể không? $b = 1$ $n^{k}$ $n^{k/2}$

Ai đó có thể chỉ cho tôi tham khảo về những gì xảy ra khi không? $b > 1$

Cảm ơn

pr.probability limited-independence

— David Harris
nguồn

Tôi không chắc tham chiếu là gì, nhưng cấu trúc tôi biết là: chọn một đa thức ngẫu nhiên trên mức độ nhiều nhất là và đánh giá nó tại điểm. Điều này mang lại một không gian mẫu có kích thước . Đây có phải là loại kết quả bạn đang tìm kiếm?

G F (2^{max {b, ⌈ \log_{2} n ⌉}})

$GF(2^{\max\{b,\lceil \log_2 n \rceil\}})$

k - 1

$k-1$

n

$n$

max {2^{k b}, n^{k}}

$\max\{2^{kb}, n^k\}$

— Thomas

Có một cuộc khảo sát tốt về chủ đề của Salil Vadhan; nó có sẵn trực tuyến: people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness . Chương 3 bao gồm các biến ngẫu nhiên độc lập -wise.

k

$k$

— Yury

Đối với , Alon, Babai và Itai tùy ý cho thấy giới hạn thấp hơn về kích thước không gian xác suất của trong đó $b$ $m(n,\lfloor k/2 \rfloor)$

m (n, k) = = Σ_{Tôi = = 0}^{k} (\binom{n}{Tôi})

$m(n,k) = \sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}$

đó là cho hằng số . $\Omega(n^{k/2})$ $k$

Họ cũng đưa ra một cấu trúc có kích thước trong trường hợp . $O(n^{k/2})$ $b = 1$

Đối với có một bài báo của Karloff và Mansour cho thấy giới hạn dưới và giới hạn trên đối với xác suất tùy ý, nghĩa là đối với với . Ví dụ: có xác suất sao cho kích thước không gian xác suất ít nhất là . Họ cũng nói rằng cũng là giới hạn trên cho xác suất tùy ý. $b=1$ $p_1,\ldots,p_n$ $p_i = P(Y_i = 1)$ $p_1,\ldots,p_n$ $m(n,k)$ $m(n,k)$

Tôi không biết bất kỳ công trình nào có giới hạn trên tốt hơn được đưa ra bởi công trình (xem tại đây ) được Thomas đề cập như một nhận xét. $O(n^k)$

— Marc Bury
nguồn