Chúng ta có thể sắp xếp mà không hoán vị?

Nó là nổi tiếng mà sắp xếp hoán vị bằng cách chuyển vị là trong , như số lượng tối thiểu là chuyển vị cần thiết để sắp xếp π ∈ S n là chính xác i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  và  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. Khái niệm "số đảo ngược" này cũng có các ứng dụng trong tổ hợp đại số, ví dụ, nó cho phép ban cho một cấu trúc mạng tinh thể, được gọi là permutohedron và dựa trên thứ tự Bruhat yếu.$S_n$

Nó có thể được chiếu sáng để làm lại vấn đề theo thuật ngữ lý thuyết nhóm. Chúng tôi đang cung cấp một nhóm với máy phát điện bộ Γ và một ánh xạ i G : Γ * → G , và một nhóm H mà G hoạt động transitively, và chúng tôi muốn giải quyết các vấn đề sau đây: cho h ∈ H , hãy tìm một tối thiểu dài w ∈ Γ ∗ sao cho tôi G ( w ) . h = 1 H . Trong trường hợp hoán vị, G = H =$G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ và$G = H = S_n$$\Gamma$ là tập hợp của chuyển vị.

Câu hỏi: có những trường hợp khác của vấn đề này thừa nhận thuật toán hiệu quả không?

Tôi không có câu trả lời chắc chắn cho câu hỏi của bạn, nhưng "sắp xếp bím tóc" dường như là một ứng cử viên có thể. Theo mục wikipedia này, chúng tôi có thể định nghĩa nó như sau. Hãy là một nhóm, và để cho H biểu thị bộ dữ liệu ( x 1 , ... , x n ) ∈ X n mà x 1 ... x n = 1 X . Nếu chúng ta để cho G là nhóm bện B n được tạo ra bởi các chuyển động σ i qua $X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$ , chúng ta có thể xác định hành động của $B_n$$H$ bằng:

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

Điều đó có nghĩa là, kết hợp hiệu ứng của một hoán đổi và liên hợp tại các vị trí i và i + 1 . Có thể giải quyết vấn đề này một cách tối ưu trong thời gian đa thức, câu trả lời cho câu hỏi của bạn.$\sigma_i$$i$$i+1$

Bài báo sau của Mark Jerrum đã nghiên cứu vấn đề bạn đề cập khi và G = H = A n (nhóm xen kẽ):$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: Sự phức tạp của việc tìm kiếm các chuỗi trình tạo độ dài tối thiểu. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

Trong số các kết quả khác, ông đã chứng minh rằng khi và Γ là tập hợp các "chuyển vị liền kề theo chu kỳ", thì độ dài tối thiểu của w có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức.$G=H=S_n$$\Gamma$$w$