Giới hạn dưới cho NFA chấp nhận ngôn ngữ 3 chữ cái

Liên quan đến một câu hỏi gần đây (Giới hạn về kích thước của NFA nhỏ nhất cho L_k-differ ) Noam Nisan đã yêu cầu một phương pháp để đưa ra giới hạn thấp hơn cho kích thước của NFA so với giới hạn phức tạp trong giao tiếp. Điều gì sau đây là một phiên bản đặc biệt của vấn đề đó.

Giả sử là một ngôn ngữ trong một số bảng chữ cái chữ cái mà các từ đều có độ dài . Biểu thị kích thước của NFA nhỏ nhất chấp nhận bằng . Xác định một ma trận là nếu và ngược lại là . Suy ra số lượng tối thiểu -submatrices (hàm con chỉ chứa ') bao gồm tất cả các số trong ma trận theo . (Vì vậy là độ phức tạp giao tiếp không xác định của$L$$n$$3$$L$$NFA(L)$$n\times n^2$$M$$M(a;bc)=1$$abc\in L$$0$$1$$1$$1$$M$$COV(M)$$\log(COV(M))$$M$.) Dễ dàng thấy rằng . Nếu chúng ta định nghĩa tương tự một ma trận là nếu và ngược lại là , thì chúng ta cũng có .$NFA(L)\ge COV(M)$$N$$N(ab;c)=1$$abc\in L$$0$$NFA(L)\ge COV(N)$

Có mà$L$$NFA(L)>COV(M)+COV(N)?$

Bằng chức năng nào của và chúng ta có thể giới hạnC O V ( M ) C O V ( N ) N F A ( L ) $COV(M)$$COV(N)$$NFA(L)?$

Giới hạn ...

Chúng tôi có trong thực tế N F A ( L ) ≥ C o v ( M ) + C o v ( N ) , xem Định lý 4 (Gruber & Holzer 2006). Đối với giới hạn trên, chúng ta có 2 C o v ( M ) + C o v ( N ) ≥ D F A ( L ) ≥ N F A ( L ) , xem Định lý 11 trong cùng một bài viết. $NFA(L) \ge Cov(M) + Cov(N)$$2^{Cov(M)+Cov(N)} \ge DFA(L) \ge NFA(L)$

... không thể được cải thiện đáng kể

Có thể có một khoảng cách phụ giữa C o v ( M ) + C o v ( N ) và N F A ( L ) . Ví dụ sau đây, và bằng chứng về khoảng cách, là sự thích nghi của một ví dụ tương tự minh họa các hạn chế của các giao thức 2 bên để chứng minh các giới hạn thấp hơn về độ phức tạp trạng thái không điều kiện từ (Hromkovič et al. 2009):$Cov(M)+Cov(N)$$NFA(L)$

Chúng tôi sử dụng bảng chữ cái [ n ] = {1 , 2 , ... , n} . Đặt L = $[n]= \{\,1,2,\ldots,n\,\}$x y z ∈ [ n ] 3 ∣ x = y ∨ x ≠ z} .$L=\{\,xyz\in [n]^3 \mid x=y \vee x\neq z \,\}$

Trước tiên chúng tôi chăm sóc C o v ( M ) . Quan sát rằng nếu w = x y z với y = z , sau đó w ∈ L : trong trường hợp x = y , w ∈ L và trong trường hợp x ≠ y , chúng tôi cũng có x ≠ z và do đó w ∈ L . Ngoài ra, nếu w có dạng x y z với y ≠ z , thì$Cov(M)$$w=xyz$$y=z$$w \in L$$x=y$$w\in L$$x\neq y$$x\neq z$$w\in L$$w$$xyz$$y\neq z$w ∈ L iff x ≠ z . Vì vậy, chúng ta có thể viết L = L ' ∪ L " , vớivà.$w\in L$$x\neq z$$L = L'\cup L''$L ′ = { x y z ∈ [ n ] 3 ∣ y = z } L ″ = $L'=\{xyz\in [n]^3 \mid y=z\}$$L''=\{\,xyz\in [n]^3 \mid y\neq z \wedge x \neq z \,\}$

Bây giờ hãy xem xét các đồ thị lưỡng cực với , , , cũng như với , , và . Sau đó, một lớp phủ cạnh biclique cho đồ thị tạo ra độ bao phủ của với các mô hình con màu đơn sắc,G ' = ( U ' , V ' , E ' ) U ' = [ n ] ] V " = { y z ∈ [ n ] 2 | y ≠ z } E " = { ( x , y z ) | x ≠ z } G = ( U ' ∪ U " , $G' = (U',V',E')$$U'=[n]$$V'= \{yz \in [n]^2 \mid y=z\}$$E' = U' \times V'$$G'' = (U'',V'',E'')$$U''=[n]$$V''= \{ yz \in [n]^2 \mid y\neq z\}$$E'' = \{(x,yz) \mid x\neq z\}$ ' ∪ V " , E ' ∪ E " ) G M $G = (U' \cup U'',V' \cup V'', E'\cup E'')$$G$$M$$1$

Một thủ thuật đơn giản kernelization để tính toán một bìa cạnh biclique cho G ' là đặt các đỉnh sinh đôi từ U ' vào lớp tương đương. Sau đó, chúng tôi làm như vậy trong đồ thị kết quả cho các đỉnh sinh đôi từ V ' . Đỉnh đôi là những người có hàng xóm giống hệt nhau. Bước này không làm thay đổi số lượng xe đạp tối thiểu cần thiết để bao phủ tất cả các cạnh trong biểu đồ tương ứng.$G'$$U'$$V'$

Bước nhân hóa thu gọn G ′ thành một đồ thị có hai đỉnh và một cạnh đơn. Do đó, các cạnh của G ' có thể được bao phủ bởi một biclique duy nhất. Áp dụng bước nhân hóa cho G ″ tạo ra đồ thị vương miện trên 2 n đỉnh, có kích thước lưỡng cực (số che phủ cạnh biclique tối thiểu) được gọi là σ ( n ) , trong đó σ là hàm nghịch đảo của hệ số nhị phân giữa (De Caen et al. 1981). Chú ý rằng σ ( n ) = O ( log $G'$$G'$$G''$$2n$$\sigma(n)$$\sigma$) . Do đó, chiều song phương của G là 1 + σ ( n ) , đó là giống với C o v ( M ) .$\sigma(n)=O(\log n)$$G$$1+\sigma(n)$$Cov(M)$

Bây giờ hãy xem xét C o v ( N ) . Quan sát rằng nếu w = x y z với x = y , sau đó w ∈ L . Nếu x ≠ y , thì x ∈ L iff x ≠ z . Vì vậy, chúng ta có thể viết L = L ‴ ∪ L ⁗ với L ‴ = { x y z ∈ [ n ] 3 | $Cov(N)$$w=xyz$$x=y$$w \in L$$x\neq y$$x\in L$$x\neq z$$L = L''' \cup L''''$= y } và L ⁗ = { x y z ∈ [ n ] 3 ∣ x ≠ y ∧ x ≠ z } . Hầu hết các lập luận tương tự như trên sản lượng C o v ( N ) = 1 + σ ( n ) .$L'''=\{xyz\in [n]^3 \mid x=y\}$$L''''= \{xyz\in [n]^3 \mid x\neq y \wedge x\neq z\}$$Cov(N)=1+\sigma(n)$

Nó vẫn còn để cho một thấp hơn bị ràng buộc vào sự phức tạp tình trạng không xác định của L . Quan sát rằng L chứa tất cả các từ có dạng x x x với x ∈ [ n ] . Đối với mỗi từ đó x x x sửa chữa một tính toán chấp nhận của một tối thiểu NFA chấp nhận L . Đặt p x biểu thị trạng thái đạt được sau khi đọc tiền tố x và để q x biểu thị trạng thái đạt được sau khi đọc tiền tố x x của từ đầu vào x x x . Sau đó tất cả các cặp$L$$L$$xxx$$x\in[n]$$xxx$$L$$p_x$$x$$q_x$$xx$$xxx$( p x , q x ) phải khác nhau. Vì mâu thuẫn, giả sử ( p x , q x ) = ( p y , q y ) cho một số x ≠ y . Sau đó, chúng ta có thể xây dựng một tính toán chấp nhận trên đầu vào x y x , sao cho NFA ở trạng thái p x = q x sau khi đọc tiền tố x và ở trạng thái q y = q $(p_x,q_x)$$(p_x,q_x)=(p_y,q_y)$$x\neq y$$xyx$$p_x=q_x$$x$$q_y=q_x$sau khi đọc tiền tố x y . Nhưng chuỗi x y x không có trong L . Đối với trạng thái được đặt Q của NFA, điều này cho thấy | Q | 2 ≥ n . Do đó, đối với n lớn , chúng ta có được sự phân tách phụ giữa C o v ( M ) + C o v ( N ) và | Q | (độ phức tạp trạng thái không xác định của L ).$xy$$xyx$$L$$Q$$|Q|^2 \ge n$$n$$Cov(M)+Cov(N)$$|Q|$$L$

Người giới thiệu

• Dominique de Caen, David A. Gregory, Norman J. Pullman: Xếp hạng Boolean của ma trận số một, trong: Cadogan, Charles C. (chủ biên), Hội nghị Caribbean về kết hợp và tính toán lần thứ 3, Khoa Toán học, Đại học Tây Ấn, trang 169 Từ173 (1981)

• Hermann Gruber và Markus Holzer. Tìm giới hạn dưới cho độ phức tạp trạng thái không phá hủy là khó . Báo cáo TR06-027, Colloquium điện tử về độ phức tạp tính toán (ECCC), tháng 3 năm 2006. Phiên bản ngắn xuất hiện trong: Oscar H. Ibarra và Zhe Dang, biên tập viên, Hội nghị quốc tế lần thứ 10 về phát triển lý thuyết ngôn ngữ (DLT 2006), Santa Barbara (CA) , Hoa Kỳ, tập 4036 của LNCS, trang 363-374. Mùa xuân, tháng 6 năm 2006.

• Juraj Hromkovic, Holger Petersen, Georg Schnitger: Về giới hạn của kỹ thuật phức tạp trong giao tiếp để chứng minh giới hạn thấp hơn về kích thước của NFA tối thiểu . Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 410 (30 Ném32): 2972 ​​Từ2981 (2009)