Các biểu đồ có số lượng lớn đường dẫn có chứa chuỗi nhỏ không?

Định nghĩa: " -chain" là một biểu đồ đa thu được từ đường dẫn có độ dài bằng cách nhân đôi mọi cạnh. $k$ $k$

Lưu ý rằng số lượng đường dẫn giữa hai điểm cuối của -chain là $k$ $2^k.$

Câu hỏi: Đặt là một đồ thị đơn giản trên n nút và cho và là hai nút của Giả sử số đường dẫn (đơn giản) từ s đến t trong ít nhất làSau đó, có thể lấy chuỗi từ với ( và làm điểm cuối) bằng một chuỗi xóa và co lại các cạnh không? $G$ $s$ $t$ $G.$ $G$ $n^k.$ $\Omega(k)$ $G$ $s$ $t$

Nếu câu trả lời là tích cực thì phần thứ hai của câu hỏi là liệu có một thuật toán hiệu quả để có được một chuỗi lớn như vậy không.

Tôi sẽ hạnh phúc như nhau với -chain hoặc cho mọi $\sqrt k$ $k^\alpha$ $\alpha >0.$

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ câu trả lời một phần hoặc bất kỳ trực giác nào về việc liệu một phỏng đoán như vậy nên giữ.

Tôi đã đăng bài này trên toán tràn vài ngày trước. Ai đó đề nghị gửi nó ở đây là tốt.

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

graph-theory graph-algorithms graph-minor

— Raghav Kulkarni
nguồn

Có thể đáng để kiểm tra biểu đồ kim cương đệ quy để xem nếu nó là một ví dụ phản tác dụng. cstheory.stackexchange.com/questions/10169/ từ

— Chandra Chekuri

Đó là một biểu đồ thú vị. Mặc dù, đối với tôi, điều này có thể không phải là ví dụ ngược lại cho " -chain Conjecture". Tuy nhiên, có thể là cho " -phỏng đoán chuỗi" này có thể. Chưa chắc lắm.

k^{α}

$k^\alpha$

Ω (k)

$\Omega(k)$

— Raghav Kulkarni

Nó không phải là một ví dụ đối với ngay cả đối với , bởi vì nếu đó là ví dụ đối với thì mức độ của nhiều nhất là và độ dài của đường dài nhất là , sau đó không có đường dẫn st, ngoại trừ việc chúng ta giả sử , trường hợp sau, một lần nữa là không thể (thực tế n là f (k) trong biểu đồ đó, nhưng nó không dẫn đến mâu thuẫn theo định lý, vì khi đó là hàm số mũ).

Ω (k)

$\Omega(k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$

s

$s$

O (k)

$O(k)$

s, t

$s,t$

O (k)

$O(k)$

n^{k}

$n^k$

n = f (k)

$n=f(k)$

f

$f$

— Saeed

Một ví dụ ngược được đăng trên MathOverflow: mathoverflow.net/questions/161451/ Khăn Tôi vẫn cảm thấy rằng việc sửa đổi "đúng" của câu hỏi có thể đúng, ít nhất là đối với một số lớp biểu đồ tự nhiên như đồ thị phẳng.

— Raghav Kulkarni

Một biến thể có thể là thế này: mọi đồ thị liên kết đều chứa một -chain, nhưng đây là một biến thể rất rõ ràng.

k

$k$

k

$k$

— Saeed

Câu trả lời:

Có vẻ đây là thuật toán của FPT cho một cố định . Trước hết chúng ta chỉ có thể xem xét một khối có chứa . Nếu chúng ta có một lưới nhỏ chứa thì chúng ta có thể tìm thấy chuỗi tương ứng. Mặt khác, như Chekuri et al. hiển thị, biểu đồ có chiều rộng cây nhiều nhất là trong đó là một số không đổi. Vì vậy, chúng ta có thể tính toán phân rã cây của đồ thị sau đó kiểm tra xem chuỗi đó có tồn tại hay không. Tôi không chắc chắn nếu với lập trình động thông thường trên các biểu đồ có chiều rộng của cây có giới hạn thì có thể tìm thấy chuỗi không. Ngoài ra nếu không bị giới hạn chiều rộng của cây, thuật toán của chúng có thể tìm thấy lưới tương ứng trong thời gian đa thức. $k$ $s,t$ $k\times k$ $s,t$ $O(k^{1/\delta})$ $\delta > 0$

PS: Lưu ý rằng tôi đã không sử dụng thực tế là có các đường dẫn thứ , có thể bằng một số mẹo bên trong thực tế này có thể có được thuật toán tốt hơn. $n^k$

— Saeed
nguồn

Vì vậy, bạn đang nói rằng "chuỗi lớn nhất có thể đạt được bằng cách xóa-co" dường như là tham số cố định có thể điều chỉnh được. Điều đó thật thú vị! Mặc dù, điều này không nói lên điều gì về sự tồn tại của một chuỗi lớn do hậu quả của việc có số lượng lớn đường dẫn.

— Raghav Kulkarni

@RaghavKulkarni, Vâng, tôi nghĩ vậy, tôi không chắc lắm, chỉ phụ thuộc vào điều đó nếu có thể hình thành vấn đề như MSO_2 hoặc cung cấp phương pháp lập trình động cho trường hợp chiều rộng cây bị ràng buộc, thực sự vấn đề của bạn nằm ở thể loại vấn đề hai chiều.

— Saeed

Ngoài ra, chúng tôi không cần một mạng lưới rất lớn như vì chúng tôi chỉ tìm kiếm trường hợp nhỏ, chỉ cần đường dẫn, vì vậy có thể cải thiện thời gian chạy (tôi nghĩ tốt hơn nhiều, và thậm chí có thể ở trong , ý tôi là nếu một cái gì đó như poly log k hoạt động thì nó rất hay hoặc theo thuật toán FPT phụ).

K \times K

$K\times K$

2^{k}

$2^k$

P

$P$

— Saeed

các ví dụ ngược lại ở trên được đăng trên MathOverflow:

/mathpro/161006/do-graphs-with-large-number-of- Motorcycle-always -contain-larsh-denlace-minor

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor?lq=1

Bất kỳ sửa đổi "đúng" của câu hỏi vẫn còn đúng?

— Raghav Kulkarni
nguồn