Bằng chứng về sự không ổn định không phải bằng cách giảm từ vấn đề tạm dừng

Cách thông thường để chứng minh tính không ổn định là giảm từ một vấn đề hoàn thành RE như vấn đề tạm dừng, tính hợp lệ trong logic thứ nhất, sự thỏa mãn của phương trình Diophantine, v.v.

Được biết, có vô số đệ quy, nhưng không thể giải quyết được các vấn đề không hoàn thành, nhưng đây là các cấu trúc nhân tạo (nghĩa là các bộ đã được xác định chỉ để hiển thị kết quả "mật độ" này).

Làm thế nào một người giải quyết việc chứng minh tính không ổn định mà không giảm từ một vấn đề hoàn thành? Đường chéo?

Người ta có thể chỉ ra một cách khá trực tiếp rằng độ phức tạp Kolmogorov không thể tính toán được, xem ví dụ Sipser, ấn bản thứ 3, vấn đề 6.23.

Hãy xem xét những gì tôi muốn gọi là vấn đề HƯỚNG DẪN XÁC NHẬN.

Đưa ra làm đầu vào mô tả về máy Turing :$M$

• Nếu chấp nhận trên một băng trống, bạn phải chấp nhận.$M$

• Nếu $M$ từ chối trên một băng trống, bạn phải từ chối.

• Nếu $M$ chạy mãi trên một băng trống, thì bạn có thể chấp nhận hoặc từ chối, nhưng trong cả hai trường hợp bạn phải tạm dừng.

(Tất nhiên đây không phải là một ngôn ngữ, nhưng giống như một sự tương tự về khả năng tính toán của một vấn đề hứa hẹn.)

Bây giờ, bằng cách sửa đổi bằng chứng ban đầu của Turing, khá dễ dàng để chứng minh rằng HƯỚNG DẪN XÁC NHẬN là không thể giải quyết được (tôi sẽ để nó như một bài tập cho bạn).

$A$$A$

Nếu những gì bạn đang tìm kiếm là một bằng chứng không phải là một) giảm từ một vấn đề hoàn chỉnh đã biết, cũng không phải là b) đường chéo đơn giản (mà các ý kiến ​​khác nhau của bạn chỉ ra bạn), thì theo như tôi biết bạn đã hết may mắn. Tất cả các bằng chứng mà tôi biết về điều đó không phải bằng cách giảm - bao gồm cả những bằng chứng trong các câu trả lời xuất sắc khác được đưa ra ở đây bởi Aaronson và Kjos-Hanssen - tiến hành bằng cách chéo hóa đơn giản.

Và tất cả các đường chéo đó về cơ bản là cùng một bằng chứng . Một số trong số chúng là các biến thể nhỏ trên bằng chứng mang lại các tuyên bố mạnh hơn / yếu hơn một chút, nhưng bản thân các bằng chứng thường chỉ là các biến thể rất nhẹ. (Và tất cả các bằng chứng này về cơ bản giống như bằng chứng ban đầu của Cantor về các hồng y, giống như các bằng chứng về sự không hoàn hảo của Godel và Chaitin, tất cả chỉ là phiên bản định lý của nghịch lý của Russell ... điểm tôi tự hỏi liệu người ta có thể chính thức hóa theo một kiểu toán học đảo ngược nào đó một định lý nói rằng về cơ bản chỉ có một bằng chứng như vậy.)

Tuy nhiên, có thể đáng để chỉ ra rằng có bằng chứng cho các tuyên bố khác - điển hình là một hương vị khác - đó là các đường chéo thực sự, thực sự, khác biệt rõ ràng so với đường chéo được sử dụng để chứng minh ví dụ không thể giải quyết được vấn đề tạm dừng.