So sánh hai thuật toán cho bài toán 3SUM trên số nguyên

Bài báo "Thuật toán phụ cho 3SUM" của Ilya Baran, Erik D. Demaine, Mihai Patrascu có độ phức tạp sau đây cho

3SUM vấn đề: cung cấp một danh sách $L$ của $n$ số nguyên nếu có $x,y,z \in L$ mà $x+y=z.$

$w-$$O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$$AC0$$O(n^2/ w^2 \log w)$$O(n^2/(MB))$$O(n^2/ MB \log M )$

Gần đây, một bài báo "Threesomes, thoái hóa và tam giác tình yêu" của Grondlund và Pettie đã chứng minh rằng "độ phức tạp của cây quyết định của 3SUM là , và đó là thuật toán 3SUM ngẫu nhiên chạy trong thời gian và thuật toán xác định chạy trong thời gian.$O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$$O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$$O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

Những kết quả này bác bỏ phiên bản mạnh nhất của phỏng đoán 3SUM, cụ thể là độ phức tạp của cây quyết định (và thuật toán) của nó là $Ω(n^2)$ . "

Xem bài viết thứ hai ở đây .

Rõ ràng, cả hai đều là giấy tờ quan trọng. Không phải là một chuyên gia trong lĩnh vực này, câu hỏi của tôi là về cách so sánh tác động và tầm quan trọng của một trong hai, với các mô hình phức tạp khác nhau. Bất kỳ ý kiến ​​sâu sắc khác về vấn đề này cũng được hoan nghênh. Ví dụ, bài báo đầu tiên đã loại trừ ràng buộc $\Omega(n^2)$ chưa?

Dưới đây là một số điểm giúp đưa ra quan điểm cho kết quả mới.

Kết quả phức tạp cây quyết định là lớn. Một dòng tấn công (và Jeff Erickson có thể nói nhiều hơn về vấn đề này) là thử và hạ thấp 3SUM thông qua việc xem xét mức độ phức tạp của quyết định của vấn đề (tức là số lượng so sánh cần thiết để giải quyết vấn đề). Hy vọng là thứ gì đó gần với có thể đạt được.$\Omega(n^2)$

Kết quả này quyết định bỏ qua đối số có ràng buộc . Lưu ý rằng điều này không nói lên điều gì về sự phức tạp thực sự của vấn đề. Nó nói rằng một cây quyết định ràng buộc thấp hơn sẽ không xảy ra. Và điều đó (cùng với các bằng chứng khác) đưa ra nghi ngờ về tiền đề cơ bản rằng 3SUM là "về mặt đạo đức" gần với .$O(n^{3/2})$$n^2$

Kết quả thuật toán là subquadratic vô điều kiện (nghĩa là không phải trong một mô hình song song từ). Đó là một vấn đề lớn, mặc dù tôi cho rằng người ta có thể ngụy biện về thực tế rằng đó không phải là cho một số hằng số .$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon$

Như @domotorp nói, điều này rất có thể là sự khởi đầu của một loạt các kết quả mới. Thật sự rất khó để nói. Giới hạn trên hiện tại đến từ việc "thực hiện lại" thuật toán cây quyết định với một số thủ thuật ma thuật từ Timothy Chan. Có thể hình dung rằng điều này có thể được đẩy xa hơn.

Bài báo đầu tiên về cơ bản đưa ra thuật toán phụ, nếu chúng ta biết rằng mọi số đầu vào đều có bit và chúng ta có thể thêm hai số bit trong một bước. Đây không phải là một kết quả rất đáng ngạc nhiên và nó không loại trừ ràng buộc .$w$$w$$\Omega(n^2)$

Bài báo thứ hai không sử dụng bất kỳ giả định nào như vậy và cải thiện số mũ của cho các cây quyết định, điều này gây bất ngờ, mặc dù không lớn như trong tất cả các thuật toán, vì chúng chỉ cải thiện một chút (do đó bác bỏ phỏng đoán mạnh nhất) . Tôi đoán rằng nhiều kết quả sẽ theo sau.$n$