Phỏng đoán của Kolmogorov rằng có các mạch kích thước tuyến tính

Trong cuốn sách của mình, Boolean Function Complexity, Stasys Jukna đã đề cập (trang 564) mà Kolmogorov tin rằng mọi ngôn ngữ trong P đều có các mạch có kích thước tuyến tính. Không có tài liệu tham khảo được đề cập và tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì trực tuyến. Có ai biết thêm về điều này?

[Theo gợi ý của Kaveh, tôi sẽ đưa nhận xét (hơi mở rộng) của mình làm câu trả lời]

"Phỏng đoán" này của Kolmogorov chỉ là một tin đồn. Nó không được công bố ở bất cứ đâu. Ở Liên Xô cũ, toán học "xuất bản" có ý nghĩa khác với những gì hiện nay: nói chuyện tại hội thảo hoặc nói với các đồng nghiệp của bạn vào bữa trưa. Đếm giấy tờ không phải là một vấn đề. (Trên thực tế, tôi cũng đã tham gia cách làm toán này.) Tôi không thể loại trừ khả năng "phỏng đoán" này đã được Kolmogorov nói với Levin khi họ đi bộ đến hội thảo tại Đại học Moscow. Vì vậy, đừng quá coi đây là một phỏng đoán chính thức; đó chỉ là một tin đồn rằng (không cần phải nói) đã không bị bác bỏ trong những năm qua. Nhưng vì một người khổng lồ như Kolmogorov đã suy nghĩ nghiêm túc về vấn đề này và không loại trừ khả năng "sức mạnh của quỷ", nên phỏng đoán cần được xử lý nghiêm túc,

Đây là một suy đoán (rất, rất thô) về sự hiểu biết của tôi về phỏng đoán này. Trực giác (dường như sai) của chúng tôi về cách thức hoạt động của các mạch dựa vào việc xem tính toán của một chương trình như là một quá trình tuần tự, dần dần thu thập thông tin về chuỗi đầu vào. Trực giác này được mượn từ quan điểm của chúng tôi về cách thức hoạt động của một máy Turing. Nhưng mỗi chuỗi đầu vào xác định một chu trình con (chứng kiến hoặc ). Và để một mạch chính xác, đủ để các tập hợp con cho và là không khớp nhau. Đó là, một mạch là một "mã hóa cục bộ" nhỏ gọn của một phân vùng đã cho của$x$$f(x)=1$$f(x)=0$$f^{-1}(1)$$f^{-1}(0)$$n$-cube. Độ dài của mã này là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi nhị phân cho có độ dài . Tuy nhiên, thuật toán thời gian đa thức thực hiện được nhiều hơn: nó cung cấp một "mã hóa toàn cầu" cho toàn bộ chuỗi vô hạn cho tất cả . Bây giờ, một chuỗi vô hạn cho phép mã hóa kích thước phải "đơn giản" và tiền tố của nó "sẽ" cho phép mã hóa "cục bộ" nhỏ gọn hơn. Tất nhiên, vẫn còn là một bí ẩn tại sao Kolmogorov nghĩ rằng mã hóa "cục bộ" ngay cả kích thước đối với một số sau đó có thể là đủ ...$f_n$$2^n$$f$$n$$f$$n^c$$cn$$c$

PS Xin lỗi, quên thêm: Một xác nhận tuyệt vời về "luận điểm" của tôi rằng các mạch nên được xem là mã (tĩnh) thay vì thuật toán (động) là định lý nổi tiếng của David Barrington rằng toàn bộ lớp có thể được mô phỏng bằng đa thức -size các chương trình phân nhánh có chiều rộng 5. Quan điểm "thu thập thông tin" ở đây là hoàn toàn sai: thậm chí còn không rõ cách tính hàm đa số bằng cách chỉ giữ 5 bit thông tin. Một ý tưởng thông minh của David chỉ là để mã hóa$NC^1$hành vi của một công thức nhất định theo các chuỗi 5 hoán vị cụ thể và để chỉ ra rằng các chuỗi được chấp nhận và bị từ chối sẽ nhận được các mã khác nhau. Vấn đề là một chương trình phân nhánh cũng không "tính toán" --- nó mã hóa các chuỗi đầu vào bằng các chương trình phụ của nó: khi một đầu vào đến, các cạnh không nhất quán biến mất và chúng ta có mã của đầu vào này.

Tôi gần như không am hiểu về chủ đề này là Stasys, nhưng tôi đã nghe một lời biện minh khác cho phỏng đoán này mà tôi có thể chia sẻ.

Tôi nghe nói rằng sự phỏng đoán dựa trên giải pháp tích cực cho vấn đề thứ mười ba của Hilbert, được giải quyết bởi Komolgorov và học sinh Arnold. Định lý (nói chung hơn nhiều so với bài toán đã nêu của Hilbert) nói:

Mỗi hàm liên tục của một số lượng biến hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần hữu hạn của các hàm đơn biến, cũng như số lượng ứng dụng hữu hạn của toán tử nhị phân .$+$

Tôi đã nói rằng, dựa trên một số chi tiết thực hiện của bằng chứng của định lý này, điều này có thể được xem như là một sự tương tự liên tục của tuyên bố rằng .$\exists k \, \, \, P \subset SIZE(n^k)$

Xin lỗi tôi không đủ điều kiện để chính xác hơn điều này - nếu có ai khác nghe thấy ý tưởng này, có lẽ họ có thể giúp tôi.