Giới hạn dưới về độ phức tạp Gaussian

Xác định độ phức tạp Gaussian của ma trận là số lượng tối thiểu của các thao tác hàng và cột cơ bản cần có để đưa ma trận thành dạng tam giác trên. Đây là một đại lượng trong khoảng từ đến (thông qua việc tách biệt Gaussian). Khái niệm này có ý nghĩa đối với bất kỳ lĩnh vực nào.0 n $n \times n$$0$$n^2$

Vấn đề này chắc chắn có vẻ rất cơ bản và nó phải được nghiên cứu. Đáng ngạc nhiên, tôi không biết bất kỳ tài liệu tham khảo. Vì vậy, tôi sẽ hài lòng với bất kỳ tài liệu tham khảo nào. Nhưng, tất nhiên, câu hỏi chính là:

Có bất kỳ giới hạn rõ ràng không tầm thường được biết đến?

Ý tôi là không tầm thường. Nói rõ hơn: Trong các trường hữu hạn, một đối số đếm cho thấy một ma trận ngẫu nhiên có thứ tự phức tạp n ^ 2 (một yêu cầu tương tự phải đúng với các trường vô hạn). Do đó, những gì chúng ta đang tìm kiếm là một họ ma trận rõ ràng , ví dụ, ma trận Hadmard. Điều này giống như với độ phức tạp của mạch Boolean nơi chúng ta biết rằng một hàm ngẫu nhiên có độ phức tạp cao, nhưng chúng ta đang tìm kiếm các hàm rõ ràng với thuộc tính này.

Đây dường như là một vấn đề rất khó khăn, liên quan đến một vấn đề được nghiên cứu rộng rãi hơn.

Giả sử chúng ta xem xét một ma trận khả nghịch A vuông và xác định c (A) là số lượng tối thiểu các thao tác hàng cơ bản cần thiết để giảm A thành ma trận nhận dạng. Biện pháp phức tạp này lớn hơn so với Moritz gợi ý, vì vậy việc chứng minh giới hạn siêu tuyến đối với nó chỉ có thể dễ dàng hơn.

Bây giờ, các hoạt động hàng là đảo ngược . Theo sau c (A) có thể được định nghĩa tương đương là số lượng hoạt động hàng tối thiểu cần thiết để sản xuất A, bắt đầu từ ma trận danh tính.

Lưu ý rằng việc tạo A theo cách như vậy sẽ tạo ra một mạch số học để tính toán bản đồ lấy x thành Ax. Fanin của mỗi cổng là 2 và số lượng cổng không đầu vào tương ứng với số lượng hoạt động của hàng.

Không có bất kỳ sự giảm rõ ràng nào theo hướng ngược lại (từ các mạch đến các chuỗi hàng-op). Tuy nhiên, chúng ta có thể mô tả c (A) về độ phức tạp của mạch số học của Axe trong mô hình mạch bị hạn chế: Tôi cho rằng c (A) bằng một nửa số cạnh tối thiểu trong mạch số học cho A, của fanin nhiều nhất là 2 và chiều rộng n, ở đó chúng ta không tính phí cho các cạnh dẫn vào cổng của fanin 1. (Tôi đang sử dụng khái niệm thông thường về chiều rộng mạch ở đây.) Điều này có thể được hiển thị bằng ý tưởng đơn giản được phác họa trước đó.

Bây giờ đây là mối liên hệ với các vấn đề được nghiên cứu kỹ lưỡng: đó là một vấn đề mở nổi tiếng trong hơn 30 năm qua để thể hiện một bản đồ tuyến tính rõ ràng Ax (trên bất kỳ trường hữu hạn nào) đòi hỏi số lượng cổng siêu tuyến trong mạch fanin-2. Tài liệu tham khảo cổ điển là Valiant, "Các đối số lý thuyết đồ thị ở mức độ phức tạp thấp" và một khảo sát FTTCS gần đây của Lokam cũng hữu ích.

Trong nghiên cứu c (A), chúng tôi đang áp dụng một hạn chế chiều rộng bổ sung, nhưng vì hạn chế của chúng tôi rất yếu (chiều rộng n) nên tôi không lường trước được vấn đề trở nên dễ dàng hơn nhiều. Nhưng này - tôi muốn được chứng minh là sai.

Có tài liệu tham khảo, và chúng khá cũ. Tôi đã bắt gặp chúng trong khi làm việc trên các thuật toán tổ hợp cho phép nhân ma trận Boolean.

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

JW Moon và L. Moser. Một vấn đề giảm ma trận. Toán học tính toán 20 (94): 328 Thiết 330, 1966.

Bài viết nên được truy cập trên JSTOR.

Tôi khá chắc chắn rằng giới hạn dưới chỉ là một đối số đếm và không có ma trận rõ ràng nào đạt được giới hạn dưới được đưa ra.