Đã có nghiên cứu nào về -SAT trên ngưỡng thỏa đáng chưa?

Một đặc điểm nổi tiếng của các trường hợp -SAT là tỷ lệ của số mệnh đề so với số lượng biến , nghĩa là thương số . Với mỗi , có một giá trị ngưỡng st \ cho , hầu hết các trường hợp đều thỏa đáng và đối với hầu hết các trường hợp đều không thỏa mãn. Đã có rất nhiều nghiên cứu được thực hiện cho các vấn đề trong đó và cho các vấn đề với đủ nhỏ ,m n ρ = m / n k alpha ρ « alpha ρ » alpha ρ « alpha ρ $k$$m$$n$$\rho = m/n$$k$$\alpha$$\rho \ll \alpha$$\rho \gg \alpha$$\rho \ll \alpha$$\rho$$k$-SAT trở nên khả thi trong thời gian đa thức. Xem, ví dụ, bài viết khảo sát của Dimitris Achlioptas từ Sổ tay về sự hài lòng ( PDF ).

Tôi tự hỏi liệu có bất kỳ công việc nào đã được thực hiện theo hướng khác (trong đó ), ví dụ: nếu chúng ta có thể chuyển đổi vấn đề từ CNF sang DNF bằng cách nào đó để giải quyết nhanh chóng.$\rho \gg \alpha$

Vì vậy, về cơ bản, những gì được biết về SAT trong đó ?$\rho = m/n \gg \alpha$

Vâng, đã có. Moshe Vardi gần đây đã có một cuộc nói chuyện khảo sát tại BIRS Cơ sở lý thuyết của hội thảo SAT Solving ứng dụng :

• Moshe Vardi, Chuyển pha và độ phức tạp tính toán , 2014.

(Moshe trình bày biểu đồ thí nghiệm của họ một chút sau phút 14:30 trong bài nói chuyện của anh ấy được liên kết ở trên.)

Gọi là tỷ lệ mệnh đề. Khi giá trị của tăng vượt ngưỡng, vấn đề trở nên dễ dàng hơn đối với người giải SAT hiện tại, nhưng không dễ dàng như trước khi đạt đến ngưỡng. Có một sự gia tăng rất khó khăn khi chúng ta tiếp cận ngưỡng từ bên dưới. Sau ngưỡng, vấn đề trở nên dễ dàng hơn so với ngưỡng nhưng độ khó giảm ít hơn nhiều.$\rho$$\rho$

Đặt biểu thị độ khó của vấn đề wrt thành (trong thử nghiệm của họ là thời gian chạy trung bình của GRASP trên các trường hợp 3SAT ngẫu nhiên với tỷ lệ mệnh đề ). Moshe gợi ý rằng thay đổi như sau:n T ρ ( n ) ρ T ρ ( n $T_\rho(n)$$n$$T_\rho(n)$$\rho$$T_\rho(n)$

• T ρ ( n ) $\rho \ll$ ngưỡng: là đa thức trong ,$T_\rho(n)$$n$
• T ρ ( n ) $\rho$ gần ngưỡng: là số mũ theo ,$T_\rho(n)$$n$
• T ρ ( n ) n $\rho \gg$ ngưỡng: vẫn theo cấp số nhân trong nhưng số mũ giảm khi tăng.$T_\rho(n)$$n$$\rho$

Có ít nhất hai dòng nghiên cứu liên quan đến ngẫu nhiên cho các công thức có mệnh đề / tỷ lệ biến lớn hơn ngưỡng thỏa mãn:$k\text-\mathsf{SAT}$

• Đối với các công thức như vậy, giới hạn thấp hơn về độ dài của sự bác bỏ trong độ phân giải và hệ thống chứng minh mệnh đề mạnh hơn đã được trình bày, bắt đầu với bài báo " Nhiều ví dụ khó giải quyết " của Chvátal và Szemerédi. Các giới hạn độ phân giải thấp hơn này ngụ ý các giới hạn thấp hơn trong thời gian chạy của các bộ giải SAT dựa trên DPLL và CDCL. Các giới hạn dưới mạnh nhất là dành cho tính toán đa thức, do Ben-Sasson và Impagliazzo .
• Đối với các công thức như vậy, có các thuật toán xác định hiệu quả để xác nhận tính không thỏa mãn, nghĩa là các thuật toán tạo ra "UNSAT" hoặc "Không biết", trong đó câu trả lời "UNSAT" là bắt buộc phải chính xác và phải xuất "UNSAT" công thức không thỏa mãn với xác suất cao. Kết quả mạnh nhất theo hướng đó là do Feige và Ofek .

đây là một nghiên cứu cũ hơn nhưng có liên quan bởi một chuyên gia hàng đầu.

• Lưỡi dao hạn chế Walsh 1998

$\kappa$

$\kappa$$\kappa$

$m/n \gg\alpha$