Nhận được bit của N! ?

Cho và M , có thể lấy bit M (hoặc chữ số của bất kỳ cơ sở nhỏ nào) của N ! trong thời gian / không gian của O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) , trong đó p ( x , y ) là một số hàm đa thức trong x và y ?$N$$M$$M$$N!$$O( p( ln(N), ln(M) ) )$$p(x, y)$$x$$y$

tức Với , M = 2 μ (với N , M ∈ Z ), tìm cắn 2 μ của ( 2 η ) ! trong O ( p ( η , μ ) ) .$N = 2^\eta$$M = 2^\mu$$N$$M \in \mathbb{Z}$$2^\mu$$(2^\eta)!$$O( p(\eta, \mu) )$

Lưu ý: Tôi đã hỏi điều này trên mathoverflow.net tại đây và chưa nhận được câu trả lời nào nên tôi đã đăng chéo.

Từ nhận xét trên trang khác, Gene Kopp chỉ ra rằng người ta có thể tính toán hiệu quả các bit bậc thấp hơn bằng cách thực hiện số học mô-đun và các bit bậc cao hơn bằng cách sử dụng xấp xỉ của Stirling, vì vậy câu hỏi này thực sự là 'người ta có thể tính toán các bit bậc trung một cách hiệu quả như thế nào?' .

Dick Lipton có một bài viết đẹp từ năm 2009 về mối quan hệ giữa chức năng giai thừa và bao thanh toán. Có rất nhiều điều không liên quan đến câu hỏi này, nhưng một điểm nổi bật là định lý này:

Nếu có thể được tính bằng phép tính số học đường thẳng trong các bước O ( log c n ) , sau đó bao thanh toán có các mạch kích thước đa thức.$n!$$O(\log^{c} n)$

Tôi nghi ngờ rằng đây là bằng chứng cho thấy câu hỏi của bạn, đặc biệt là trong giới hạn thời gian bạn đề cập, sẽ rất khó để trả lời.

Câu trả lời của Suresh có thể trả lời câu hỏi cho bạn, nhưng tôi nghĩ tôi sẽ chỉ ra một trường hợp đặc biệt. Bạn luôn có thể tính ra kết quả cho các chữ số ít quan trọng hơn cho bất kỳ cơ sở nào. Lấy làm cơ sở của chúng tôi.$p$

$p$$(p^2)$$p^2$$p$$N!$$X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$$\log_p(N!)$$\ln N! \approx N \ln N - N$$p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$$1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$$\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$$i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$$N!$$p$