Khoảng cách có thể chứng minh được giữa độ phức tạp của cây quyết định và độ phức tạp của true true

Tiêu đề hơi sai lệch: nhưng hy vọng câu hỏi không phải là:

Kết quả mới của Grønlund và Pettie cho thấy 3SUM chỉ có độ phức tạp của cây quyết định khiến tôi băn khoăn: $O(n^{3/2})$

Có một ví dụ đơn giản về một vấn đề với độ phức tạp của cây quyết định là nhưng thừa nhận ràng buộc thấp hơn (trong một mô hình chi tiết hơn) của ? $O(f)$ $\omega(f)$

Nói cách khác, kết quả trên 3SUM sẽ thay đổi quan điểm của chúng ta như thế nào về khả năng nhận được mức thấp hơn đáng kể so với giới hạn trên về mức độ phức tạp của vấn đề? $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Suresh Venkat
nguồn

Sự khác biệt của yếu tố có thể được giải quyết bằng cây quyết định nhị phân có độ sâu không đổi. ("Tất cả các yếu tố có khác biệt không?") Nhưng chúng ta cần độ sâu để giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng cây quyết định tuyến tính .

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

— Jeffε

Mô hình cây quyết định là một mô hình lý thuyết thông tin: Một khi bạn đã tìm hiểu đủ thông tin về đầu vào của mình rằng câu trả lời được xác định duy nhất từ thông tin này, bạn đã hoàn thành. Sẽ không có vấn đề gì nếu việc xác định câu trả lời từ thông tin này là không thể giải quyết được. Vì vậy, ví dụ nếu đầu vào là một chuỗi nhị phân n-bit mã hóa máy Turing và câu hỏi đặt ra là liệu TM này có dừng lại không, cây quyết định có chiều sâu n có thể giải quyết vấn đề này một cách tầm thường vì nó biết tất cả n bit, nhưng không thuật toán nào có thể giải quyết vấn đề này.

— Robin Kothari

Có lẽ tôi nên nói 'ví dụ về một vấn đề đơn giản' thay vào đó :).

— Suresh Venkat

Câu trả lời:

Meyer auf der Heide đã mô tả một họ cây quyết định tuyến tính không đồng nhất cho Subset Sum có độ sâu . Một kết quả tương tự có thể được tạo ra từ thuật toán Meiser sau này cho vị trí điểm trong sắp xếp siêu phẳng. Tất nhiên vấn đề là NP-hard. $O(n^4\log n)$

— Jeffε
nguồn

Nếu tôi muốn trở thành PEDANTIC THỰC SỰ, tôi chỉ ra rằng NP-hard không phải là giới hạn thấp hơn. nhưng đó là một ví dụ tốt về tinh thần của những gì tôi đang tìm kiếm.

— Suresh Venkat

Vâng, nhưng chúng tôi không biết làm thế nào để chứng minh giới hạn dưới vững chắc.

— Jeffε

@ Jɛ E Bạn có thể biết về một bài viết hay giải thích về kết quả này không? Tôi thấy bản gốc rất khó theo dõi, một số định nghĩa không rõ ràng với tôi.

— domotorp

Ít nhất là các định nghĩa cơ bản được mô tả trong bài báo của tôi về các vấn đề thoái hóa tuyến tính .

— Jeffε

Dưới đây là một ví dụ về một khoảng cách nhỏ giữa độ phức tạp của cây quyết định và thuật toán. Độ phức tạp của cây quyết định ngẫu nhiên của sắp xếp cục bộ (định hướng biểu đồ có trọng số đỉnh) là trong khi kích thước của đầu vào là . Bất kỳ thuật toán nào cũng cần đọc đầu vào, vì vậy sẽ có sự phân tách bất cứ khi nào . Xem Goddard, Kenyon, King, Schulman (SICOMP 1993). $O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— Seth Pettie
nguồn

Hãy để tôi không đồng ý một chút. Trong mô hình RAM, chúng ta không nhất thiết phải đọc toàn bộ đầu vào. Trong mô hình máy Turing, có nhiều vấn đề nhỏ có thể được giải quyết nhanh hơn với cây quyết định (hoặc trên máy RAM). Cũng xem bình luận của Robin cho câu hỏi ban đầu.

— domotorp