Các ví dụ trong đó tính duy nhất của giải pháp giúp tìm kiếm dễ dàng hơn

Lớp phức tạp bao gồm các biểu tượng có thể được quyết định bởi một máy Turing không điều kiện thời gian đa thức có nhiều nhất một con đường tính toán chấp nhận. Đó là, giải pháp, nếu có, là duy nhất theo nghĩa này. Người ta cho rằng rất khó có khả năng tất cả các biểu tượng đều nằm trong , bởi vì theo Định lý Valiant-Vazirani, điều này sẽ ám chỉ sự sụp đổ .N P U P P N P = R $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

Mặt khác, không có được biết đến là , điều này cho thấy rằng yêu cầu giải pháp duy nhất vẫn bằng cách nào đó giúp chúng dễ dàng hơn.N $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ, trong đó giả định duy nhất dẫn đến một thuật toán nhanh hơn.

Ví dụ, xem xét các vấn đề về biểu đồ, có thể tìm thấy một cụm tối đa trong biểu đồ nhanh hơn (mặc dù có thể vẫn còn trong thời gian theo cấp số nhân), nếu chúng ta biết rằng biểu đồ có một cụm tối đa duy nhất ? Làm thế nào về -colorability duy nhất, đường dẫn Hamilton duy nhất, bộ thống trị tối thiểu duy nhất, vv?$k$

Nói chung, chúng ta có thể định nghĩa một phiên bản giải pháp duy nhất cho bất kỳ vấn đề nào của , thu nhỏ chúng thành . Có ai biết rằng việc thêm giả định duy nhất dẫn đến một thuật toán nhanh hơn không? (Cho phép nó vẫn còn theo cấp số nhân.)U $\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT có thể là một trong những vấn đề như vậy. Hiện tại giới hạn trên tốt nhất cho Unique 3-SAT nhanh hơn theo cấp số nhân so với 3-SAT chung. (Việc tăng tốc là theo cấp số nhân, mặc dù mức giảm của số mũ là rất nhỏ.) Người giữ kỷ lục cho trường hợp duy nhất là bài báo này của Timon Hertli.

Thuật toán Hertli của xây dựng dựa trên quan trọng thuật toán PPSZ của Paturi, Pudlák, Saks, và Zane cho -SAT, mà tôi tin là vẫn nhanh nhất cho k ≥ 5 (xem thêm này bài viết bách khoa toàn thư). Phân tích ban đầu cho thấy giới hạn tốt hơn cho Unique k -SAT so với k -SAT chung khi k = 3 , 4 ; sau đó, tuy nhiên, Hertli đã cho thấy trong một bài báo khác$k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$rằng bạn có thể có cùng giới hạn cho thuật toán PPSZ (được điều chỉnh một chút) mà không giả sử tính duy nhất. Vì vậy, có thể tính duy nhất giúp ích và nó hoàn toàn có thể đơn giản hóa việc phân tích một số thuật toán, nhưng sự hiểu biết của chúng tôi về vai trò của tính duy nhất đối với -SAT vẫn đang tăng lên.$k$

Có bằng chứng cho thấy Unique -SAT không quá dễ dàng hơn so với k -SAT chung . Các mạnh Exponential Time Giả thuyết (SETH) khẳng định không có δ < 1 mà n -variable k -SAT là có thể giải quyết trong O * ( 2 δ n ) thời gian cho mỗi liên tục k ≥ 3 . Nó đã được thể hiện trong một bài báo của Calabro, Impagliazzo, Kabanets và Paturi rằng, nếu SETH giữ, thì tuyên bố tương tự cũng đúng với Unique k -SAT. Ngoài ra, nếu chung $k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$-SAT đòi hỏi thời gian mũ, tức là có một số như vậy nói chung k -SAT không thể được giải quyết trong thời gian O * ( 2 ε n ) , sau đó cùng phải đúng cho Unique 3-SAT. Xem bài báo cho tuyên bố chung nhất. $k \geq 3, \epsilon > 0$$k$$O^*(2^{\epsilon n})$

(Lưu ý: ký hiệu ngăn chặn các yếu tố đa thức trong thời gian đầu vào.)$O^*$

Vấn đề đường dẫn 2-Vertex ngắn nhất trong các đồ thị không được đề cập gần đây đã được giải quyết (ICALP14) của A. Bjorklund và T. Husfeldt. Nhưng giải pháp xác định là cho trường hợp tồn tại của một giải pháp duy nhất. Trong trường hợp có nhiều hơn một giải pháp, họ đã chỉ ra rằng vấn đề thuộc về RP . Như các tác giả của bài báo đã đề cập, không biết vấn đề nằm ở P trong kịch bản chung.

Ngoài lý thuyết phức tạp và phân tích các thuật toán, giả định rằng chỉ có một giải pháp tạo cơ sở cho một số quy tắc chuẩn được sử dụng để suy ra giải pháp trong các câu đố Sudoku. Các quy tắc này thường liên quan đến việc tìm kiếm các cách thức mà các phần của câu đố có thể có hai hoặc nhiều giải pháp không tương tác với phần còn lại của câu đố. Điều đó không thể xảy ra trong giải pháp thực tế, vì vậy nếu một mô hình đe dọa gây ra điều này được tìm thấy, thì nó phải bị phá vỡ, cho phép người giải quyết suy ra các ràng buộc về giải pháp thực tế có thể trông như thế nào. Xem http://www.brainbashers.com/sudokuuniquer chữ nhật.asp để biết một số ví dụ về quy tắc khấu trừ dựa trên tính duy nhất.

$G$

Giả định đơn nhất có nghĩa là tính chẵn lẻ của số Ham. các đường dẫn giống như quyết định nếu đồ thị là Hamilton.

$O(1.619^n)$$O^*(1.657^n)$$O(n^22^n)$