Bằng chứng đơn giản về Ω (n lg n) trường hợp xấu nhất bị ràng buộc cho tính duy nhất / tính khác biệt?

Có một số bằng chứng cho loglinear bị ràng buộc thấp hơn cho vấn đề duy nhất / tính khác biệt của phần tử (dựa trên cây tính toán đại số hoặc đối số nghịch cảnh), nhưng tôi đang tìm kiếm một điều đủ đơn giản để sử dụng trong khóa học đầu tiên trong phân tích và thiết kế thuật toán. Mức độ khó khăn tương tự của người Viking vì giới hạn dưới để sắp xếp sẽ ổn. Ngoài ra, mọi cách tiếp cận (ví dụ: tổ hợp hoặc dựa trên lý thuyết thông tin) sẽ ổn. Bất kỳ đề xuất?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
nguồn

Những mô hình tính toán nào bạn có trong tâm trí? Nếu các mục là số nguyên nhỏ, người ta có thể thực hiện bằng cách sắp xếp. Nếu các mục chỉ có thể được so sánh về bất bình đẳng thì dường như có giới hạn dưới . Có đúng không khi suy ra câu trả lời mà bạn đang tìm kiếm rằng các mục được sắp xếp tuyến tính và có thể được so sánh với <, =,> nhưng không có thao tác nào khác?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

Câu hỏi của Warren trong bình luận của ông là một cuộc gọi tốt. Liên quan đến vấn đề này, nhận xét của David Eppstein về một câu hỏi khác là sâu sắc, trong đó ông nhấn mạnh tầm quan trọng của việc chỉ định mô hình tính toán khi chúng ta nói về loại giới hạn dưới này. Nhân tiện, tôi không chắc có hợp lý không khi liệt kê các cây tính toán đại số của Hồi giáo (một mô hình tính toán) và các đối số nghịch cảnh của Hồi (một phương pháp chứng minh) cạnh nhau.

— Tsuyoshi Ito

Điểm rất tốt. Ứng dụng của tôi ở đây là giải thích về bằng chứng độ cứng bằng cách giảm - ví dụ bằng cách giảm từ tính duy nhất sang sắp xếp (và một số vấn đề khác). Do đó, tôi giả sử các thao tác cơ bản giống như khi làm việc với sắp xếp so sánh (để việc giảm sẽ hoạt động). (Hoặc, tôi đoán, bất cứ thứ gì tương đương với RAM với số thực.)

— Magnus Lie Hetland

Câu trả lời:

Bất kỳ chứng chỉ (bằng chứng) nào về tính khác biệt chỉ sử dụng <, = và> phải bao gồm các so sánh giữa mỗi cặp phần tử liền kề theo thứ tự được sắp xếp. Do đó, bất kỳ chứng chỉ về tính khác biệt nào cũng cung cấp đủ thông tin để sắp xếp và do đó giới hạn dưới lý thuyết thông tin tiêu chuẩn để sắp xếp áp dụng cho bất kỳ thuật toán phân biệt xác định nào.

— Warren Schudy
nguồn

Đối số này hoạt động để so sánh cây, nhưng không (trực tiếp) cho các mô hình cây quyết định chung hơn.

— Jeffε

JeffE: Tôi đồng ý. Tôi nghi ngờ rằng có một bằng chứng đủ đơn giản cho các mục đích của Magnus hoạt động trong một mô hình tổng quát hơn.

— Warren Schudy

Đúng. Cây so sánh là tốt cho ứng dụng của tôi - vì vậy tôi đoán nó khá gần với những gì tôi đang tìm kiếm. Ứng dụng của tôi đã giải thích ý tưởng về bằng chứng độ cứng, bao gồm giảm việc sắp xếp, vì vậy thực tế là bằng chứng sắp xếp được sử dụng ở đây sắp xếp các mạch ngắn toàn bộ. Tôi đoán tôi nên nói rõ điều đó :-)

— Magnus Lie Hetland

Tôi không chắc mình có hiểu chính xác câu hỏi không, nhưng bằng chứng của Dobkin và Lipton [DL79] rằng vấn đề duy nhất trên số n đòi hỏi so sánh Ω ( n log n ) trong mô hình cây quyết định tuyến tính dễ hơn nhiều so với kết quả mạnh hơn trong mô hình cây tính toán đại số của Ben-Or [Ben83] (không đáng ngạc nhiên).

Người giới thiệu

[Ben83] Michael Ben-Hoặc. Giới hạn dưới cho cây tính toán đại số. Trong Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ mười lăm về lý thuyết tính toán (STOC 1983) , trang 80 mật86, tháng 4 năm 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin và Richard J. Lipton. Về sự phức tạp của các tính toán dưới các bộ nguyên thủy khác nhau. Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống , 18 (1): 86 Từ91, tháng 2 năm 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Tóm lại: Hãy xem xét không gian R ^ n của tất cả các đầu vào có thể. Tập hợp các đầu vào tích cực có n! các thành phần kết nối, một cho mỗi hoán vị. Mặt khác, các đầu vào tập hợp con có thể chạm tới bất kỳ lá nào trong cây quyết định tuyến tính là lồi và do đó được kết nối. Vì vậy, bất kỳ cây quyết định tuyến tính xác định tính duy nhất có ít nhất n! lá.

— Jeffε

Một đối số tinh tế hơn là cần thiết cho trường hợp đặc biệt của đầu vào số nguyên. Xem Lubiw và Rács, "Giới hạn dưới của bài toán phân biệt phần tử nguyên", Thông tin và Tính toán 1991; hoặc Yao, "Giới hạn dưới cho các cây tính toán đại số với đầu vào số nguyên", FOCS 1989.

— Jeff

@JeffE: Giải thích ngắn gọn của bạn là tuyệt vời. Cũng cảm ơn bạn cho con trỏ đến kết quả thú vị. Tôi chưa bao giờ nghĩ rằng giới hạn dưới của Ben-Or không ngay lập tức áp dụng cho trường hợp đầu vào bị giới hạn ở số nguyên!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: những điều này nên có trong một câu trả lời!

— Suresh Venkat

Cảm ơn cả Tsuyoshi Ito và JeffE. Tôi đã thấy bằng chứng không gian R ^ n trước đó (trong một cài đặt sử dụng đối số nghịch cảnh). Tôi nghĩ rằng nó hơi phức tạp đối với đối tượng mục tiêu của tôi khi tôi đọc nó lần đầu tiên, nhưng tôi đoán có lẽ nó không thực sự như vậy. Cảm ơn. (Tôi cũng đã thấy bài báo về trường hợp số nguyên - Tôi nghĩ rằng tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề đó trong bài giảng của mình :)

— Magnus Lie Hetland