Định lý của Kannan có ngụ ý rằng NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly không?

Tôi đang đọc một bài báo của Buhrman và Homer Hồi Superpolynomial Circuits, Hầu như thưa thớt thưa thớt và Phân cấp cấp số mũ .

Ở cuối trang 2, họ nhận xét rằng kết quả của Kannan ngụ ý rằng không có mạch kích thước đa thức. Tôi biết rằng trong hệ thống phân cấp thời gian theo cấp số nhân, chỉ là và tôi cũng biết rằng kết quả của Kannan là sao cho . Tất nhiên, định lý của Kannan KHÔNG nói (để đó là trường hợp chúng ta cần chứng minh rằng sao cho , . Tuy nhiên, tôi không thấy kết quả của Kannan ngụ ý rằng $NEXPTIME^{NP}$ $NEXPTIME^{NP}$ $\Sigma_2EXP$ $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$ ?

— Gilles 'SO- ngừng là ác'
nguồn

Có lẽ đó là thích hợp hơn cho cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, cảm ơn. Nếu người điều hành nghĩ rằng nó phù hợp hơn với cstheory.se, thì hãy thoải mái di chuyển nó.

Điều này cũng hiện đang có trên bộ vấn đề cs354 ...: - / ... Tôi đã chỉ thị rõ ràng cho sinh viên không hỏi internet, vì vậy "Lorraine" hy vọng tốt hơn là họ không tham gia lớp học của tôi.

— Ryan Williams

@Sasho, tôi nghĩ sẽ tốt nếu làm như vậy, ít nhất là cho đến sau ngày hết hạn của nhiệm vụ.

— Kaveh

@Turbo Tôi đoán tôi cũng có thể, hy vọng điều này không phải là vấn đề của người khác vào lúc này.

— Sasho Nikolov

Phiên bản của câu trả lời này kết hợp thông tin phản hồi từ Emil Jeřábek.

Theo như tôi có thể thấy, vấn đề chính là có một ngôn ngữ trong về độ phức tạp của hàm mũ. Cụ thể, sửa mã hóa nhị phân của các mạch boolean và định nghĩa là ngôn ngữ được xác định bởi $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ không được quyết định bởi bất kỳ mạch có kích thước và $2^{n/2}$

bất kỳ ngôn ngữ nào có trước theo từ vựng được quyết định bởi một số mạch có kích thước tối đa là , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

trong đó ký hiệu có nghĩa là lát . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Để thực hiện việc này trong thời gian theo cấp số nhân với một , bạn có thể sử dụng tìm kiếm nhị phân trên các tập con của (nghĩ về chúng như các số nguyên bit ) để tìm đầu tiên bộ như vậy có độ phức tạp mạch . Bạn chỉ cần giữ dự đoán hiện tại về và sử dụng lời tiên tri để kiểm tra xem có tồn tại về độ phức tạp của mạch ít nhất là . Vì đây đưa ra một máy in mà viết xuống toàn bộ lát , rõ ràng chúng ta cũng có thể quyết định thành viên trong , và, do đó, trong . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Điều này rất giống với lập luận của Kannan, nhưng được nhân rộng và sắp xếp hợp lý để sử dụng thời gian theo cấp số nhân. Sau đó, bạn có thể sử dụng phiên bản mở rộng của định lý Karp-Lipton để chỉ ra rằng nếu , thì và bạn có thể thực hiện phân tích trường hợp trong bằng chứng của Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
nguồn

AFAICS mô tả của bạn cung cấp trực tiếp một ngôn ngữ , thay vì .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@ EmilJeřábek Bộ não của tôi không bao giờ có thể xử lý các máy tiên tri. Tôi định lượng độ sâu bốn: nằm trong nếu tồn tại một mạch có kích thước sao cho và [cho tất cả các mạch có kích thước tồn tại một từ trong đó ] và [với mọi đứng trước theo thứ tự lex tồn tại một mạch có kích thước tối đa là st cho tất cả

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]. Đây dường như là cấp độ thứ tư của hệ thống phân cấp theo cấp số nhân. Nó là gì trong ký hiệu tiên tri?

— Sasho Nikolov

Đầu tiên, "tồn tại một từ ..." và bộ định lượng phổ quát tương tự ở gần cuối không được tính vì chúng có kích thước tuyến tính, do đó chúng có thể được tính toán một cách xác định theo thời gian theo cấp số nhân. Thứ hai, bộ định lượng ngoài cùng có thể được mô phỏng xác định theo thời gian theo cấp số nhân bằng cách sử dụng tìm kiếm nhị phân.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Đó là, hàm Boolean đầu tiên về mặt từ vựng trên đầu vào không có mạch có kích thước có thể được tìm thấy bằng cách tìm kiếm nhị phân theo thời gian theo hàm mũ cho vị từ "có tồn tại một hàm từ vựng trước không thể tính toán được bằng một mạch có kích thước ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@SashoNikolov Vì vậy, nó vẫn hoạt động kể từ . Tuy nhiên, chúng tôi không thể sử dụng nếu sau đó áp dụng Karp-Lipton trong cstheory.stackexchange.com/questions/39837/ . Vì vậy, chúng ta có và . Điều này không hoạt động cho .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....