Chiến lược sắp xếp thứ bậc cho hoán vị tránh mẫu?

Đối với một lớp hoán vị, chúng ta không thể mong đợi sắp xếp các hoán vị của với ít hơn so sánh , theo quy ước . $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $O(\log |\mathcal{C}_n|)$ $\mathcal{C}_n := \mathcal{C} \cap S_n$

Cụ thể, khi $\mathcal{C}$ được đóng bởi các mẫu con, nó sẽ theo định lý Marcus-Tardos (được tinh chỉnh bởi J. Fox) rằng $|\mathcal{C}_n| \leq C^n$ trong đó $C$ là hằng số Stanley-Wilf của $\mathcal{C}$ . Điều này dẫn đến câu hỏi sau: có thể sắp xếp một lớp như vậy bằng cách sử dụng tối đa các so sánh $O(n \log C)$ không? Câu hỏi này là một sự củng cố của Câu hỏi 1 trong bài viết ' Sắp xếp nhanh và các phép tránh mẫu ' của D. Arthur.

Dường như có thể biểu diễn một chiến lược sắp xếp như vậy bằng một cây nhị phân , về cơ bản sẽ bắt chước thuật toán sắp xếp hợp nhất 'không cân bằng'. Đây là ý tưởng: được cho phép hoán vị $\pi$ , chúng ta sẽ tìm một cây $T_{\pi}$ được dán nhãn bởi các điểm của $\pi$ , sao cho mỗi nút $u$ của $T_{\pi}$ 'chồng chéo' giữa hai cây con sẽ là $O(\log C)$ (trường hợp xấu nhất hoặc trung bình). Tuy nhiên tôi nghi ngờ rằng một cấu trúc liên quan nhiều hơn là cần thiết để giải quyết vấn đề này; nó nên thừa nhận một giải pháp tích cực.

ds.algorithms sorting permutations

— NisaiVloot
nguồn

Bạn có ý nghĩa gì bởi "đóng bởi các mẫu con"? Đây có phải là bất cứ điều gì khác với việc tránh một mô hình cố định?

— Sasho Nikolov

Theo tham chiếu đến Stanley-Wilf, có vẻ như đây chính xác là những gì được dự định.

— Suresh Venkat

Một câu hỏi liên quan: khi nào có thể biểu diễn một lớp hoán vị tránh một mẫu trong bit?

β

$\beta$

n \log C

$n\log C$

— Suresh Venkat

@SashoNikolov: Tôi có nghĩa là đóng cửa dưới mối quan hệ 'liên quan' vì nó thường được gọi là; điều này tương đương với việc tránh một tập các mẫu (có thể là vô hạn).

— NisaiVloot

@SureshVenkat: khả thi đối với các lớp cụ thể thừa nhận biểu diễn dựa trên cây hoặc từ; giải quyết trường hợp chung với một đại diện đa thời gian là mở theo như tôi biết. Trong ngôn ngữ của phép liệt kê tổ hợp, đây là một vấn đề xếp hạng / không kiểm soát , trong khi vấn đề liệt kê liên quan có thể được thực hiện một cách hiệu quả thông qua việc tạo cây.

— NisaiVloot

Một cách tiếp cận khác là mã hóa liệt kê. Hãy xem xét ví dụ về các hoán vị , trong đó có . Số lượng các phép hoán vị với là , và điều này đưa ra một thuật toán đệ quy để mã hóa các hoán vị : chia khoảng thành khoảng có độ dài cho tùy ý. Cho một hoán vị với , lưu ý rằng là một $231$ $C_n$ $231$ $\pi^{-1}(n) = i$ $C_{i-1} C_{n-i}$ $231$ $[0,C_n)$ $n$ $I_1,\ldots,I_n$ $C_i C_{n-i-1}$ $i=1,\ldots,n$ $\pi^{-1}(n) = i$ $\pi|_{1,\ldots,i-1}$ $231$ -avoiding hoán vị của và là một -avoiding hoán vị của $\{1,\ldots,i-1\}$ $\pi|_{i+1,\ldots,n}$ $231$ . Mã hóa đệ quy phần đầu tiên trong và phần thứ hai trong và đặt cả hai mã hóa lại với nhau để mã hóa trong . $\{i+1,\ldots,n\}$ $[0,C_{i-1})$ $[0,C_{n-i})$ $\pi$ $I_i$

$\tau \in S_3$ $\tau$ $231$ $132$ $123$ $3$

— Yuval Filmus
nguồn