Liệu có nghĩa là kết nối mạnh mẽ?

Biểu thị bằng mức độ tối thiểu trong và bởi mức độ tối thiểu. $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

Trong một câu hỏi liên quan , tôi đã đề cập đến phần mở rộng Ghouila-Houri của định lý Dirac về chu trình Hamilton , điều này cho thấy rằng nếu thì G là Hamilton. $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

Trong bình luận của mình, Saeed đã bình luận về một phần mở rộng khác có vẻ mạnh hơn, ngoại trừ nó yêu cầu biểu đồ phải được kết nối mạnh mẽ.

Sự kết nối mạnh mẽ đã được chứng minh là dư thừa cho định lý Ghouila-Houri khoảng 30 năm sau khi nó được xuất bản lần đầu tiên, và tôi đã tự hỏi liệu điều tương tự có được cho phần mở rộng Saeed trình bày hay không.

Vì vậy, câu hỏi là:

Ai đã chứng minh (ai cũng có thể tìm thấy tài liệu tham khảo) rằng ngụ ý là Hamilton, với điều kiện được kết nối mạnh mẽ? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

Có phải kết nối mạnh cũng dự phòng ở đây không, tức là có nghĩa là kết nối mạnh? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(Lưu ý rằng mặc dù biểu đồ rõ ràng phải được kết nối mạnh mẽ với nó là Hamilton, tôi đang hỏi liệu điều kiện này có được ngụ ý bởi các điều kiện mức độ không).

reference-request graph-theory

— RB
nguồn

Câu trả lời:

Biến thể mà tôi đề xuất thực ra là biến thể hơi khác nhau của định lý Woodal . Có lẽ tôi đã nhìn thấy nó trong cuốn sách của Bang-Jensen và Gutin . Vào thời điểm tôi viết bình luận, tôi đã không kiểm tra chính xác cuốn sách. Vì vậy, để chắc chắn tôi đã viết biểu đồ nên được kết nối mạnh mẽ. BTW, tuyên bố đó đúng vì có thể được hiểu là một trường hợp đặc biệt của định lý Woodal. Ngoài ra không cần yêu cầu kết nối mạnh mẽ.

Đây là định lý 6.4.6 từ cuốn sách của Bang-Jensen và Gutin :

Đặt là một sơ đồ của thứ tự . Nếu cho tất cả các cặp đỉnh và sao cho không có cung từ đến , thì là hamiltonian. $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

Điều đó có nghĩa là câu trả lời cho phần thứ hai của câu hỏi của bạn cũng là Có.

Có một nghi ngờ về việc liệu có bị ràng buộc chặt chẽ hay không. Ở đây tôi cố gắng trả lời nó. Chúng ta không thể giảm yêu cầu của ít nhất đến , hãy xem xét biểu đồ sau. đang tạo ra tam giác hai chiều và đang tạo một hai hướng . Nếu chu kỳ hamiltonian bắt đầu tại , nó không thể chuyển sang trong lần di chuyển tiếp theo vì cách duy nhất cho là sử dụng nhưng, là cách duy nhất để quay lại . Mặt khác, chu trình Hamilton sau khi không thể đến $n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ $e$ $c$ , bởi vì sau đó cách quay lại duy nhất cho sẽ trực tiếp đến để sử dụng trong các bước tiếp theo, nhưng một lần nữa chúng ta lại ở vị trí trước đó. Cũng từ hình ảnh, rõ ràng rằng mọi đỉnh đều có mức độ vào và ra ít nhất là . Vì vậy, tổng của mỗi hai đầu vào tùy ý ít nhất là . Chúng ta có thể mở rộng các loại biểu đồ này thành tùy ý . $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

P.S1: Chắc chắn định lý đã nói ở trên cho các sơ đồ đơn giản. tức là các bản vẽ không có vòng lặp hoặc các cạnh song song.

P.S2: Tôi không có một công cụ Tex tốt ngay bây giờ. Vì vậy, hình ảnh là không tốt.

— Saeed
nguồn

Khi chỉ có hai tác giả, tốt hơn là gọi họ là "Thứ nhất và Thứ hai", thay vì "Đầu tiên và cộng sự", để họ nhận được tín dụng mà họ xứng đáng. Et al. ("Và những người khác") chỉ nên được sử dụng khi danh sách tác giả đầy đủ đủ dài để sao chép nó sẽ gây khó xử.

— David Richerby

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai của bạn là khẳng định:

Nếu thì được kết nối mạnh mẽ $\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

Chứng minh: Gọi là đồ thị không được kết nối mạnh. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng . Viết phân tách thành các thành phần được kết nối mạnh. Đặt là thành phần được kết nối mạnh là phần chìm (nghĩa là không có cạnh nào nằm ngoài ) và là nguồn (tức là không có cạnh nào đi vào ). Vì không có cạnh nào đi ra bên ngoài , nên . Tương tự, chúng ta có và kết hợp hai thứ này lại với nhau, chúng ta sẽ cóQED. $G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— bánh bao mobius
nguồn

Từ đó, có vẻ như là đủ.

\geq n - 1

$\ge n-1$

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving Vâng, có vẻ như vậy.

— bánh bao mobius

Điều này khiến tôi tự hỏi liệu n-1 có đủ cho Hamiltonality không.

— RB

@RB, Không, nó không đủ.

— Saeed

@RB, nhưng tôi tự hỏi số cạnh tối thiểu của máy đào không phải là người Dilton là gì nếu .

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

— Saeed

Đây là phần mở rộng của câu trả lời @Mobius để thể hiện yêu cầu mạnh mẽ hơn:

Nếu , thì . $\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

Bằng chứng:

Nếu chúng ta đã hoàn thành. $(u,v)\in E$

Suy ra . $A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

Lưu ý rằng vì , , do đó . $(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

Nhưng sau đó

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

Và do đó , tức là và . $|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$ .

— RB
nguồn