Một biến thể khác của PHẦN THAM GIA

Tôi đã giảm được vấn đề phân vùng sau cho một vấn đề lập lịch nhất định:

Đầu vào: Danh sách của các số nguyên dương theo thứ tự không giảm.$a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

Câu hỏi: Có tồn tại một vectơ sao cho$(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

k ∑ i = 1 a i x i ⩾

Không có điều kiện thứ hai, nó chỉ là PHẦN THAM GIA, do đó NP-hard. Nhưng điều kiện thứ hai dường như cung cấp rất nhiều thông tin bổ sung. Tôi tự hỏi nếu có một cách hiệu quả để quyết định biến thể này. Hay vẫn còn khó?

Đây là một giảm từ THAM GIA cho vấn đề này. Đặt là một ví dụ của . Giả sử rằng .một 1 ≤ một 2 ≤ ⋯ ≤ một $(a_1,\dots, a_n)$$a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

Đặt là một số rất lớn, ví dụ . Hãy xem xét trường hợp của vấn đề của chúng tôi.N = ( Σ n i = 1 | một i | ) + 1 N , ... , N ⏟ 5 n  lần , N + một 1 , ... , N + một n , 4 N , ... , 4 N ⏟ n $N$$N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

1. Nếu có một giải pháp thành thì là một giải pháp cho vấn đề của chúng tôi.1 , ... , 1 $x_1,\dots, x_n$

   $$\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$$

2. Nếu có một giải pháp cho trường hợp của vấn đề của chúng tôi (mà chúng tôi đã giảm một trường hợp thành), thì \ sum_ {i = 1} ^ n a_i y_i \ equiv 0 \ pmod N . Do đó \ sum_ {i = 1} ^ n a_i y_i = 0. Nghĩa là, (y_1, \ dot, y_n) là một giải pháp cho PHẦN THAM GIA .$(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$n Σ i = 1 một i y i = 0. ( y 1 , ... , y n$\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$

   $$\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$$ $(y_1,\dots, y_n)$