Cho

Đây là một vấn đề với một hương vị tương tự như học tập juntas:

Dữ liệu vào: Một hàm $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ , được biểu thị bằng một lời tiên tri thành viên, tức là một lời tiên tri đã cho $x$ , trả về $f(x)$ .

Mục tiêu: Tìm một subcube $S$ có $\{0,1\}^n$ với âm lượng $|S|=2^{n-k}$ sao cho $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$ . Chúng tôi giả sử như một subcube tồn tại.

Thật dễ dàng để có được một thuật toán chạy trong thời gian $n^{O(k)}$ và trả về một câu trả lời đúng với xác suất $\ge 0.99$ bằng cách thử tất cả $(2n)^k$ cách chọn một subcube và lấy mẫu trung bình trong mỗi một.

Tôi rất thú vị trong việc tìm kiếm một thuật toán chạy trong thời gian $poly(n,2^k)$ . Ngoài ra, một giới hạn thấp hơn sẽ là tuyệt vời. Vấn đề có hương vị tương tự như việc học tập, nhưng tôi không thấy mối liên hệ thực sự giữa độ khó tính toán của chúng.

Cập nhật: @Thomas dưới đây chứng minh rằng độ phức tạp mẫu của vấn đề này là $poly(2^k,\log n)$ . Vấn đề thú vị là, vẫn là sự phức tạp tính toán của vấn đề.

Chỉnh sửa: bạn có thể giả sử cho đơn giản rằng có tồn tại một subcube với $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ (chú ý khoảng trống: chúng tôi đang tìm kiếm một subcube có trung bình $\ge 0.1$ .) Tôi chắc chắn rằng bất kỳ giải pháp nào cho vấn đề với khoảng trống cũng sẽ giải quyết vấn đề mà không có khoảng cách.

— bánh bao mobius
nguồn

Đây là một ràng buộc tốt hơn về độ phức tạp mẫu. (Mặc dù độ phức tạp tính toán vẫn là .) $n^k$

Định lý. Giả sử tồn tại một subcube có kích thước sao cho . Với mẫu chúng ta có thể, với xác suất cao, xác định một subcube kích thước đến nỗi $S$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$ $O(2^k \cdot k \cdot \log n)$ $S'$ $2^{n-k}$ . $|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

Lưu ý sự mất mát nhỏ trong các tham số ( là tối ưu so với đảm bảo ). $0.12$ $0.1$

Bằng chứng. Chọn điểm thống nhất một cách ngẫu nhiên và truy vấn tại mỗi . $m$ $P \subset \{0,1\}^n$ $f$ $x \in P$

Sửa một subcube có kích thước . Chúng ta có . Bởi một ràng buộc của Chernoff, Ngoài ra $S$ $2^{n-k}$ $\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

P [| S \cap P | < m 2^{- k - 1}] \leq 2^{- Ω (m 2^{- k})} .

$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$

P [| E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | > ε] \leq 2^{- Ω (| S \cap P | ε^{2})} .

$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$

Bằng cách kết hợp trên tất cả lựa chọn của , chúng ta cóVì vậy, bằng cách chọn , chúng tôi có thể đảm bảo rằng, với xác suất ít nhất là , chúng tôi có thể ước tính trong phạm vi cho tất cả các tiểu nhóm có kích thước . ${n \choose k}2^k$ $S$

P [\forall S | E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | \leq ε] \geq 1 - (\binom{n}{k}) 2^{k} 2^{- Ω (m 2^{- k} ε^{2})} .

$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$

m = O (2^{k} / ε^{2} \cdot k \log n)

$m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$

0.99

$0.99$

E_{x \in S} [f (x)]

$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$

ε

$\varepsilon$

S

$S$

2^{n - k}

$2^{n-k}$

Đặt , chúng tôi chứng minh định lý: chọn subcube có giá trị lớn nhấtsẽ, với xác suất cao, đáp ứng các yêu cầu. QED $\varepsilon=0.01$ $| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

— Thomas ủng hộ Monica
nguồn

Ôi trời ơi, tôi thật ngốc nghếch: vâng, ý tưởng cơ bản là nếu bạn lấy mẫu điểm, thì một điểm dự kiến của chúng sẽ nằm trong mỗi subcube, do đó, với giá trị khiêm tốn sẽ mang lại giá trị lớn đủ cỡ mẫu để giải quyết vấn đề, ngay cả sau khi liên kết trên tất cả các giới hạn Chernoff. Ngoài ra, tôi khá chắc chắn rằng bất kỳ giải pháp nào cũng có thể được điều chỉnh để loại bỏ khoảng cách giữa 0,1 và 0,12, vì vậy tôi sẽ chỉ thêm điều này dưới dạng nhận xét cho câu hỏi. Cảm ơn!!

C \cdot 2^{k}

$C \cdot 2^k$

C

$C$

C

$C$

n^{k}

$n^k$

— bánh bao mobius

Một cách khác để thấy điều này là không gian phạm vi mà bạn mô tả đã giới hạn kích thước phá vỡ và do đó giới hạn kích thước VC, và sau đó bạn ném định lý xấp xỉ eps vào nó.

— Suresh Venkat