Sức mạnh vô lý của sự không đồng đều

33

Theo quan điểm thông thường, có thể dễ dàng tin rằng việc thêm tính không xác định vào giúp mở rộng đáng kể sức mạnh của nó, tức là lớn hơn nhiều so với . Rốt cuộc, chủ nghĩa không xác định cho phép song song theo cấp số nhân, chắc chắn xuất hiện rất mạnh mẽ. $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Mặt khác, nếu chúng ta chỉ thêm tính không đồng nhất vào , thu được , thì trực giác sẽ không rõ ràng (giả sử chúng ta loại trừ các ngôn ngữ không đệ quy có thể xảy ra trong ). Người ta có thể mong đợi rằng chỉ cho phép các thuật toán thời gian đa thức khác nhau cho các độ dài đầu vào khác nhau (nhưng không để lại cõi đệ quy) là một phần mở rộng ít mạnh hơn so với song song theo hàm mũ trong tính không xác định. $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}/poly$ $\mathsf{P}/poly$

Tuy nhiên, thật thú vị, nếu chúng ta so sánh các lớp này với lớp rất lớn , thì chúng ta sẽ thấy tình huống phản trực giác sau đây. Chúng tôi biết rằng chứa đúng , điều này không đáng ngạc nhiên. (Sau khi tất cả, cho phép gấp đôi song song mũ.) Mặt khác, hiện nay chúng ta không thể loại trừ . $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

Do đó, theo nghĩa này, tính không đồng nhất, khi được thêm vào thời gian đa thức, có thể làm cho nó cực kỳ mạnh mẽ, có khả năng mạnh hơn so với tính không xác định. Nó thậm chí có thể đi xa đến mức mô phỏng song song theo cấp số nhân ! Mặc dù chúng tôi tin rằng đây không phải là trường hợp, nhưng thực tế là hiện tại không thể loại trừ nó vẫn cho thấy các nhà lý thuyết phức tạp đang vật lộn với "sức mạnh hùng mạnh" ở đây.

Làm thế nào bạn sẽ giải thích cho một giáo dân thông minh những gì đằng sau "sức mạnh vô lý" của sự không đồng đều này?

cc.complexity-theory complexity-classes big-picture

— Andras Farago
nguồn

16

Khó hiểu về sự không đồng nhất (và chứng minh các giới hạn chung của mạch) không nhất thiết ngụ ý rằng sự không đồng nhất là mạnh mẽ (theo nghĩa là bạn có thể sử dụng nó để giải quyết các vấn đề thú vị).

— Kaveh

4

Tôi không nghĩ bất cứ ai tin hoặc thậm chí . Thực tế là những câu hỏi này vẫn còn mở là một tuyên bố về sự bất lực đáng xấu hổ của chúng tôi để chứng minh các giới hạn thấp hơn.

N E X P \subset P / p o l y

$\mathcal{NEXP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

N P \subset P / p o l y

$\mathcal{NP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

— Thomas

8

@Thomas: Tôi sẽ không đoán trước để nói chuyện với người khác, nhưng sẽ nói rằng tôi biết ít nhất một nhà nghiên cứu rất được kính trọng, người thực sự phỏng đoán rằng .

E X P \subseteq P / p o l y

$\mathsf{EXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— Joshua Grochow

2

@Thomas: Không chính xác, nhưng tôi nghĩ đó là về việc chúng ta hiểu sự không đồng nhất như thế nào. Ví dụ, đối với tất cả những gì chúng ta biết, (và theo phỏng đoán của Kolmogorov, xem cstheory.stackexchange.com/a/22048/129 ) P có ckts cỡ . Một ví dụ khác, dường như có rất ít (nếu có) các vấn đề tự nhiên được biết đến trong không thưa thớt cũng như trong BPP ( cstheory.stackexchange.com/questions/1662/ .). Tuy nhiên, khi xem xét ckts, người ta sẽ nghĩ rằng mạnh hơn đáng kể so với ngẫu nhiên + tra cứu bảng.

O (n)

$O(n)$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

— Joshua Grochow

6

Để lặp lại @thomas nếu chúng ta không thể chứng minh NEXP không có trong P / poly nghĩa là có "sức mạnh không hợp lý của sự không đồng nhất" thì chúng ta không thể chứng minh P <> NP có nghĩa là phải có "sức mạnh vô lý của tính toán hiệu quả".

— Lance Fortnow

33

Một câu trả lời lật là đây không phải là điều đầu tiên về lý thuyết phức tạp mà tôi cố gắng giải thích với một giáo dân! Để thậm chí đánh giá cao ý tưởng về sự không đồng nhất, và nó khác với chủ nghĩa không phổ biến như thế nào, bạn cần đi sâu hơn vào các loại cỏ dại với các định nghĩa về các lớp phức tạp hơn nhiều người sẵn sàng nhận được.

Phải nói rằng, một viễn cảnh mà tôi thấy hữu ích, khi giải thích P / poly cho sinh viên đại học, đó là sự không đồng nhất thực sự có nghĩa là bạn có thể có một chuỗi vô hạn các thuật toán tốt hơn và tốt hơn, khi bạn đi đến độ dài đầu vào lớn hơn và lớn hơn. Trong thực tế, chẳng hạn, chúng ta biết rằng thuật toán nhân ma trận ngây thơ hoạt động tốt nhất cho các ma trận có kích thước 100x100 hoặc hơn, và đến một lúc nào đó, phép nhân Strassen trở nên tốt hơn, và sau đó các thuật toán gần đây chỉ trở nên tốt hơn đối với các ma trận lớn trong thiên văn học sẽ không bao giờ phát sinh trong thực tế. Vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn có khả năng kỳ diệu để đạt được thuật toán tốt nhất cho bất kỳ phạm vi nào mà bạn tình cờ làm việc với?

Chắc chắn, đó sẽ là một khả năng kỳ lạ, và tất cả những điều được xem xét, có lẽ không hữu ích bằng khả năng giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức. Nhưng nói đúng ra, đó sẽ là một khả năng không thể so sánh được : đó không phải là một khả năng mà bạn sẽ tự động nhận được ngay cả khi P = NP. Thật vậy, bạn thậm chí có thể xây dựng các ví dụ giả định về các vấn đề không thể giải quyết được (ví dụ, được đưa ra 0 ⁿ làm đầu vào, máy Turing ^thứ n có dừng lại không?) Mà khả năng này sẽ cho phép bạn giải quyết. Vì vậy, đó là sức mạnh của sự không đồng nhất.

Để hiểu được quan điểm của việc xem xét sức mạnh kỳ lạ này, có lẽ bạn cần phải nói điều gì đó về nhiệm vụ chứng minh giới hạn dưới và thực tế là, từ quan điểm của nhiều kỹ thuật ràng buộc thấp hơn của chúng tôi, đó là sự đồng nhất có vẻ kỳ lạ điều kiện thêm mà chúng ta gần như không bao giờ cần.

— Scott Aaronson
nguồn

2

Tôi thực sự thích đối số "chuỗi vô hạn của thuật toán tốt hơn và tốt hơn". Tôi đã thực sự tìm kiếm những lập luận như vậy, rất hữu ích để giải thích bức tranh lớn cho sinh viên đại học. Tuy nhiên, đối số này sẽ áp dụng như thế nào nếu được thay thế bằng ? Đối với , câu hỏi ban đầu tương tự có thể được đưa ra, vì hiện tại chúng tôi không thể tách khỏi .

P / p o l y

$P/poly$

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

— Andras Farago

7

BPP dễ dàng hơn nhiều để thúc đẩy! Đó chỉ là cố gắng mô hình hóa sức mạnh của ngẫu nhiên, mà (không giống như sự không đồng nhất) là thứ được sử dụng mọi lúc trong thực tế. . Tốt hơn là nên có một hệ thống mật mã mà bạn nghĩ là an toàn trước những kẻ tấn công không hình thành ở độ dài cố định đó, không chỉ chống lại những kẻ tấn công thống nhất.)

— Scott Aaronson

1

Tôi hoàn toàn đồng ý rằng

dễ dàng hơn để thúc đẩy. Tuy nhiên, điều không rõ ràng là đây: điều gì mang lại cho

một sức mạnh như vậy mà hiện tại chúng ta không thể loại trừ rằng nó thậm chí có thể mô phỏng sự song song theo cấp số nhân của

? Vì

chỉ khác nhau hình thành

thông qua tính ngẫu nhiên, và nó được phỏng đoán vì lý do chính đáng rằng tính ngẫu nhiên ở đây là bất lực (tức là

), điều này có vẻ là một tình huống kỳ lạ đối với tôi. Tôi đang tìm kiếm một "sự hiểu biết triết học" về tình huống này, ngoài thực tế rõ ràng là các công cụ còn thiếu để chứng minh

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

P

$P$

P = B P P

$P=BPP$

.

N E X P \neq B P P

$NEXP\neq BPP$

— Andras Farago

2

Nhưng nếu nó thực sự là chỉ thực tế là các công cụ đang thiếu? Chúng ta có định lý hệ thống phân cấp, trong đó chúng ta hãy chứng minh rằng nhiều tài nguyên cùng mang đến cho bạn nhiều năng lượng hơn (ví dụ,

), và khi chúng ta không thể làm giảm tới một hệ thống lý chúng tôi thường bị mắc kẹt. Đây là vấn đề chung mà show lên khắp nơi trên hệ thống phân cấp phức tạp, không phải cái gì cụ thể để

.

P \neq E X P

$P\ne EXP$

B P P

$BPP$

— Scott Aaronson

28

Đây là một lập luận "trơn tru" mà tôi đã nghe gần đây để bảo vệ cho tuyên bố rằng các mô hình tính toán không đồng nhất sẽ mạnh hơn chúng ta nghi ngờ. Một mặt, chúng ta biết từ định lý phân cấp thời gian rằng có các hàm tính toán theo thời gian không thể tính toán được trong thời gian . Mặt khác, theo định lý của Lupanov, bất kỳ hàm boolean nào trên đầu vào đều có thể tính toán được bằng một mạch có kích thước $O(2^{2n})$ $O(2^{n})$ $n$ $(1+o(1))2^n/n$ . Vì vậy, nếu chúng ta tuyên bố rằng sự không đồng nhất không mang lại nhiều sức mạnh, đó là sẽ hoạt động giống như , thì yêu cầu này sẽ dừng đột ngột giữ khi trở thành . Nhưng hành vi này --- hai biện pháp phức tạp song hành với nhau cho đến khi bất ngờ một trong số chúng trở nên toàn năng --- có vẻ độc đoán và có phần không tự nhiên. $\mathsf{SIZE}(f(n))$ $\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$ $f(n)$ $2^{O(n)}$

Mặt khác, nếu các mạch đủ mạnh để , thì bởi Karp-Lipton, hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ đến cấp độ thứ hai, điều này cũng sẽ là kỳ lạ: tại sao các bộ lượng hóa đột nhiên ngừng cung cấp năng lượng tính toán nhiều hơn ? Tôi không chắc nơi này để lại cho chúng tôi. $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— Sasho Nikolov
nguồn

1

Rất thú vị! Nó minh họa độc đáo rằng sự hiểu biết của chúng ta về mô hình tính toán không đồng nhất (mạch) vẫn còn rất xa.

— Andras Farago

4

Nếu không bình luận về việc liệu sự sụp đổ như vậy có khả năng hay không: đó có phải là điểm dừng đột ngột của sức mạnh tính toán ở cấp độ thứ hai, khi điều này đủ chính xác để có cả hai loại định lượng?

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Điểm rất thú vị. Tất nhiên tất cả những điều này (bao gồm cả suy đoán trong câu trả lời của tôi) là thần học nhiều hơn toán học, nhưng thật vui khi suy đoán.

— Sasho Nikolov

3

@Sasho: đó không phải là thần học, hay thậm chí là ý kiến: đó là proto-math, phải không? Đó là một kế toán của những ý tưởng có thể có liên quan, và cân nhắc chúng cho trực giác. Không còn nhiều việc phải làm khi bị lạc trong rừng, nhưng nó hiệu quả hơn là, kể chuyện ma. :-)

— Niel de Beaudrap

10

Tôi giả sử rằng nói chuyện với ai đó về và có nghĩa là người đó quen thuộc với câu hỏi vs và tính đối ngẫu giải quyết. $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

Sau đó, tôi sẽ cố gắng giải thích rằng rất mạnh bởi vì với mỗi độ dài khác nhau, TM được đưa ra lời khuyên rằng nó có thể tin tưởng hoàn toàn. Sau đó, tôi sẽ đề cập rằng chúng ta có thể tạo ra các ngôn ngữ cứng (thực tế không tính toán được TM) có 1 từ trên mỗi độ dài đầu vào (nghĩa là đơn nguyên), vì vậy chúng nằm trong P / poly! Nhưng có lẽ một lời khuyên dài đa thức không đủ để giải quyết tất cả các ngôn ngữ trong , vì ở đó chúng tôi được phép đưa ra một gợi ý khác nhau cho mỗi đầu vào khác nhau. $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$

Mặt khác, tôi sẽ nhắc người đó rằng phải xác minh câu trả lời, không tin tưởng hoàn toàn. Vì vậy, chúng tôi không thể sử dụng cùng một lời khuyên cho mỗi chiều dài đầu vào, nó có thể không thể kiểm chứng được! $\mathbb{NP}$

$\mathbb{NP}$ $\mathbb{P/poly}$

Một điểm quan trọng để đưa ra một sự hiểu biết tốt, mà tôi nghĩ cũng phổ biến khi dạy môn học lần đầu tiên, là làm rõ rằng lời khuyên và "gợi ý" (tức là chứng chỉ) là những điều khác nhau, và chúng khác nhau như thế nào.

— chazisop
nguồn

10

Đối với tôi, minh họa rõ ràng nhất về sức mạnh của tính không đồng nhất là phiên bản được đệm phù hợp của Vấn đề Ngừng đã có trong P / 1. Một lời khuyên sau đó là đủ để quyết định ngôn ngữ này với một TM tầm thường mà chỉ cần trả về bit lời khuyên.

Tất nhiên, việc thêm một ngôn ngữ không thể xác định theo số mũ có nghĩa là nó không "về mặt đạo đức" trong P / poly. Nhưng điều này cho thấy rằng người ta cần phải cẩn thận khi cho phép không đồng nhất.

— Salamás Salamon
nguồn

3

Tôi có ấn tượng rằng vấn đề thực sự ở đây là gánh nặng chứng minh vô lý, không phải là sức mạnh vô lý của sự không đồng nhất. Khi câu trả lời của chazisop và András Salamon đã nhấn mạnh, các ngôn ngữ không thể nói được trở nên có thể tính toán được ngay cả trong các ngôn ngữ không đồng nhất rất hạn chế, bởi vì gánh nặng chứng minh đã được miễn hoàn toàn.

$2^n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$ $\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$ $n$ $\mathsf{P/poly'}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$ ) vẫn đúng, nhưng tuyên bố này ít thú vị hơn định lý Karp-Lipton thực sự.

— Thomas Klimpel
nguồn