Xấp xỉ các vấn đề # P-hard

9

Hãy xem xét vấn đề # P-đầy đủ cổ điển # 3SAT, nghĩa là, để đếm số lượng định giá để tạo ra 3CNF với biến thỏa đáng. Tôi quan tâm đến tính gần đúng phụ gia . Rõ ràng, có một thuật toán tầm thường để đạt được -error, nhưng nếu , thì có thể có một thuật toán xấp xỉ hiệu quả hay không, hay vấn đề này cũng là # P-hard? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— người dùng0928
nguồn

Nếu

, thì có một thuật toán đa thời gian với lỗi cộng

. Nếu

, thì sẽ có một thuật toán đa thời gian ngẫu nhiên với lỗi cộng

. Khi

nhỏ hơn đáng kể (nhưng không phải là đa thức nhỏ), tôi sẽ mong đợi nó là NP-hard, nhưng không phải # P-hard, vì độ cứng #P thường phụ thuộc vào nó là một tính toán chính xác.

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— Thomas

Bạn có thể cung cấp tài liệu tham khảo cho hai yêu cầu đầu tiên? Xin lỗi tôi là người mới bắt đầu ...

— user0928

10

Chúng tôi quan tâm đến các xấp xỉ phụ gia cho # 3SAT. tức là đã đưa ra 3CNF trên biến đếm số lượng bài tập thỏa mãn (gọi đây ) cho đến lỗi cộng gộp . $\phi$ $n$ $a$ $k$

Dưới đây là một số kết quả cơ bản cho việc này:

Trường hợp 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Ở đây có một thuật toán đa thời gian xác định: Đặt . Bây giờ hãy đánh giá trên đầu vào tùy ý (ví dụ: đầu vào đầu tiên theo từ vựng ). Giả sử của các đầu vào đáp ứng . Sau đó, chúng ta biết như có ít nhất đáp ứng nhiệm vụ và $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ như có ít nhất bài tập không hài lòng. Chiều dài của khoảng thời gian này là . Vì vậy, nếu chúng ta xuất ra trung điểm thì đây là trong câu trả lời đúng, theo yêu cầu. $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$

Trường hợp 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Ở đây chúng ta có một thuật toán poly-thời gian ngẫu nhiên: Đánh giá tại điểm ngẫu nhiên . Đặt $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ và. Chúng tôi xuất. Để điều này có lỗi nhiều nhấtchúng ta cầntương đương với $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

Bởi mộtràng buộc của Chernoff,

như

. Điều này có nghĩa rằng, nếu chúng ta chọn

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$

(và đảm bảo

là lũy thừa bằng

), sau đó với xác suất ít nhất là

, sai số nhiều nhất là

.

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Trường hợp 3: cho $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

$\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Thomas
nguồn

4

Dưới đây là một tham chiếu đến Bordewich, Freedman, Lovász và tiếng Wales phát triển chủ đề này đến một mức độ nào đó.

— Martin Schwarz
nguồn