Các ngôn ngữ được công nhận bởi các DFA kích thước đa thức

Đối với một bảng chữ cái hữu hạn cố định $\Sigma$ , một ngôn ngữ chính thức $L$ trên $\Sigma$ là bình thường nếu có tồn tại một automaton hữu hạn xác định (DFA) trên $\Sigma$ mà chấp nhận chính xác $L$ .

Tôi quan tâm đến các ngôn ngữ "gần như" thường xuyên theo nghĩa chúng có thể được nhận ra bởi các họ automata có kích thước chỉ phát triển đa thức với độ dài từ.

Chính thức, hãy để tôi nói rằng một ngôn ngữ chính thức $L$ được công nhận bởi một DFA gia đình $(A_n)$ nếu vì từng chữ $w \in \Sigma^*$ , cho phép $n = |w|$, $w$ là trong $L$ iff $A_n$ chấp nhận $w$ (không có vấn đề nếu người kia $A_i$ chấp nhận nó hay không), và hãy để tôi xác định p thường xuyên ngôn ngữ như là ngôn ngữ được công nhận bởi một ptime-tính toán gia đình DFA $(A_n)$có kích thước đa thức, cụ thể là có một đa thức $P$ sao cho $|A_n| \leq P(n)$ cho tất cả $n$ . (Tên này, "p thường xuyên", là điều mà tôi tạo ra, câu hỏi của tôi là phải biết nếu một tên khác đã tồn tại cho Lưu ý rằng đây là thế này. Không giống như ngôn ngữ p thường xuyên theo nghĩa của hoán vị automata .)

Lớp ngôn ngữ p-thường này bao gồm tất nhiên các ngôn ngữ thông thường (chỉ cần lấy $A_n = A$ cho tất cả $n$ , trong đó $A$ là một số DFA nhận ra ngôn ngữ thông thường); nhưng nó là một superset nghiêm ngặt của nó: ví dụ, người ta biết rằng $\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ có ngữ cảnh nhưng không thường xuyên, nhưng nó là p-thường ( $A_n$ chỉ phải đếm $n$ sự xuất hiện của $a$ và $n$ lần xuất hiện của $b$ ). Tuy nhiên, vì tôi yêu cầu automata phải là DFA có kích thước đa thức, một số ngôn ngữ chính thức (thực tế là một số ngôn ngữ không có ngữ cảnh) không phải là p-normal: ví dụ, ngôn ngữ của palindromes không phải là p-thường, bởi vì, theo trực giác, khi bạn đã đọc nửa đầu của từ, bạn cần phải có càng nhiều trạng thái khác nhau càng tốt, bởi vì bạn sẽ cần ghép chính xác nửa đầu này với nửa thứ hai.

Vì vậy, lớp ngôn ngữ p-normal là một siêu ngôn ngữ nghiêm ngặt của các ngôn ngữ thông thường không thể so sánh được với các ngôn ngữ không ngữ cảnh. Trên thực tế, dường như bạn thậm chí có thể có được một hệ thống phân cấp các ngôn ngữ bằng cách phân biệt các ngôn ngữ thông thường dựa trên mức độ nhỏ nhất của đa thức mà chúng là P không đều . Không quá khó để xây dựng các ví dụ cho thấy hệ thống phân cấp này là nghiêm ngặt; mặc dù tôi không hiểu rõ về sự tương tác giữa điều này và một định nghĩa khác về hệ thống phân cấp cũng sẽ hạn chế sự phức tạp của việc tính toán A n .$P$$P$$A_n$

Câu hỏi của tôi là: lớp này mà tôi gọi là p-thường, và hệ thống phân cấp liên quan, đã được nghiên cứu trước đây chưa? Nếu có, ở đâu và dưới tên nào?

(Một liên kết có thể là với trường hoặc phát trực tuyến hoặc thuật toán trực tuyến. Trong thuật ngữ của thuật toán Truyền phát cho các vấn đề nhận dạng ngôn ngữ , tôi quan tâm đến lớp (hoặc phân cấp) của các ngôn ngữ có thể có thuật toán nhận dạng một lần xác định, một lần xác định, sử dụng số lượng trạng thái đa thức (vì vậy kích thước bộ nhớ logarit), nhưng tôi không tìm thấy định nghĩa nào về lớp này trong bài báo này hoặc các giấy tờ liên quan. Tuy nhiên, lưu ý rằng trong giai đoạn của tôi về vấn đề độ dài của từ được biết trước , điều này ít tự nhiên hơn trong ngữ cảnh phát trực tuyến: khi phát trực tuyến, bạn có thể thấy đây là một máy tự động vô hạn, một biểu tượng "kết thúc từ" đặc biệt và một ràng buộc rằng số lượng trạng thái có thể tiếp cận sau khi đọc ký tự là đa thức trong $n$$n$. Tôi nghĩ rằng sự khác biệt này tạo ra sự khác biệt, ví dụ có thể có: ngôn ngữ của các từ nhị phân có giá trị chia hết cho độ dài của chúng, dễ dàng cho một độ dài cố định nhưng (tôi phỏng đoán) không thể được biểu thị bằng một máy tự động vô hạn theo nghĩa trước đó vì không có định danh có thể được thực hiện nếu độ dài không được biết trước.)

(Động lực của lớp p-thường này là một số vấn đề, chẳng hạn như xác suất thành viên ngôn ngữ cho các từ xác suất, dường như là PTIME không chỉ khi ngôn ngữ là chính quy, mà cả khi nó là ngôn ngữ chính quy, và tôi đang cố gắng để mô tả chính xác trong trường hợp những vấn đề đó có thể xử lý được.)

câu hỏi dường như không được nghiên cứu nhiều (một khả năng là cố gắng tìm mối quan hệ với lớp phức tạp "gần đó" nói P / poly, v.v.); mặc dù ở đây có ít nhất một ref chạm vào nó:

• Hoạt động ngôn ngữ với các biểu thức chính quy của kích thước đa thức Gruber / Holzer

  Công việc này liên quan đến các câu hỏi liên quan đến mức độ thường xuyên - bảo tồn các hoạt động ngôn ngữ ảnh hưởng đến độ phức tạp mô tả của các biểu thức chính quy. Một số thao tác ngôn ngữ được xác định là khả thi đối với các biểu thức chính quy theo nghĩa là kết quả của hoạt động có thể được biểu diễn dưới dạng một biểu thức chính quy của đa thức kích thước trong các toán hạng. Chúng tôi chứng minh rằng việc lấy các chỉ tiêu ngôn ngữ, đặc biệt là các bao đóng tiền tố và hậu tố, của một tập hợp thông thường có thể phải chịu nhiều nhất là một cú nổ bậc hai trên kích thước biểu thức cần thiết. Hoạt động dịch chuyển vòng tròn có thể chỉ gây ra sự gia tăng kích thước khối và ít nhất là một sự phình to bậc hai có thể cần thiết trong trường hợp xấu nhất.

như AS cho thấy có thể có những cách khác tự nhiên hơn để nghiên cứu một cái gì đó giống như câu hỏi được đặt ra. đây là một cách khác tương tự để nghiên cứu sự phát triển của một ngôn ngữ thông thường dựa trên số lượng từ có kích thước có mối quan hệ lỏng lẻo với câu hỏi, vd$n$

• Tìm tốc độ tăng trưởng của một ngôn ngữ thông thường hoặc không có ngữ cảnh trong thời gian đa thức (Gawrychowski, Krieger, Rampersad, Shallit)

  Với một ngôn ngữ không ngữ cảnh L, chúng ta có thể kiểm tra xem đó là sự tăng trưởng theo cấp số nhân hay hàm mũ trong thời gian đa thức. Hơn nữa, nếu đó là sự tăng trưởng đa thức, chúng ta cũng có thể tìm thấy thứ tự chính xác của đa thức này trong thời gian đa thức.