Đối với những họ đồ thị là Địa lý tổng quát trong

Như @Marzio đã đề cập, trò chơi sau đây được gọi là Địa lý tổng quát .

Cho đồ thị và đỉnh bắt đầu , trò chơi được xác định như sau:$G=(V,E)$$v \in V$

Ở mỗi lượt (hai người chơi xen kẽ), một người chơi chọn , và sau đó xảy ra:$u\in N(v)$

1. $v$ , cũng như tất cả các cạnh của nó, được lấy ra từ .$G$
2. $u\to v$ (tức là được cập nhật thành đỉnh ).$v$$u$

Người chơi bị buộc phải chọn "ngõ cụt" (nghĩa là một đỉnh không có cạnh đi) sẽ thua.

Trong đó các họ đồ thị là chiến lược tối ưu tính toán trong thời gian đa thức?

Ví dụ, thật dễ dàng để thấy rằng nếu là DAG, thì chúng ta có thể dễ dàng tính toán chiến lược tối ưu cho người chơi.$G$

Tổng quát Địa lý (GG) là PSPACE hoàn thành ngay cả trên các đồ thị lưỡng cực có hướng phẳng, nhưng, như đã báo cáo trong:

Hans L. Bodlaender, Sự phức tạp của các trò chơi tạo đường , Khoa học máy tính lý thuyết, Tập 110, Số 1, ngày 15 tháng 3 năm 1993, Trang 215-245

GG (và một số biến thể hoàn chỉnh PSPACE khác) có thể giải quyết theo thời gian tuyến tính trong đồ thị của treewidth giới hạn.

GHI CHÚ: một trong những biến thể Địa lý Tổng quát gần đây đã được chứng minh là hoàn thành PSPACE là Tron ( trò chơi Light C chu kỳ ): đưa ra một biểu đồ vô hướng, hai người chơi chọn hai đỉnh bắt đầu khác nhau, rồi lần lượt di chuyển sang một cạnh đỉnh từ cái trước tương ứng của chúng trong mỗi bước. Trò chơi kết thúc khi cả hai người chơi không thể di chuyển được nữa. Người chơi vượt qua nhiều đỉnh sẽ chiến thắng (nó được phỏng đoán là PSPACE hoàn thành vào năm 1990 bởi Bodlaender và Kloks).
Tillmann Miltzow, Tron, một trò chơi kết hợp trên đồ thị trừu tượng (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

Thật kỳ lạ, ma trận tương tự thu được nếu người chơi A có thể chọn một nút bắt đầu tùy ý.

Như đã nói trong các bình luận, tôi nghĩ rằng sự phức tạp của việc quyết định liệu có chiến lược chiến thắng khi GG được chơi trên các biểu đồ lưới rắn (có hình dạng tùy ý, nhưng không có lỗ hổng) không được biết đến và có lẽ không dễ để chứng minh điều gì đó về nó (thực sự là vấn đề - hơi liên quan - quyết định xem đồ thị lưới rắn có đường dẫn Hamilton vẫn mở hay không, mặc dù quyết định xem đồ thị lưới rắn có chu trình Hamilton có thể giải quyết được thời gian đa thức không).

Một lưu ý nhỏ cuối cùng: GG là thời gian đa thức có thể giải được trong các biểu đồ hoàn chỉnh.

$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$