Giảm P so với NP xuống SAT

Câu hỏi sau đây sử dụng các ý tưởng từ mật mã được áp dụng cho lý thuyết phức tạp. Điều đó nói rằng, đó là một câu hỏi lý thuyết hoàn toàn phức tạp và không có kiến thức về tiền điện tử nào được yêu cầu để trả lời nó.

Tôi cố tình viết câu hỏi này rất không chính thức. Thiếu chi tiết, nó có thể được nêu một chút không chính xác. Xin vui lòng chỉ ra các sửa chữa trong câu trả lời của bạn.

Trong phần bổ trợ sau:
Mật mã không thể nhầm lẫn, Daniel Dolev, Cynthia Dwork và Moni Naor, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
các tác giả viết:

Giả sử nhà nghiên cứu A đã thu được bằng chứng rằng P ≠ NP và muốn truyền đạt sự thật này cho giáo sư B. Giả sử rằng, để bảo vệ bản thân, A chứng minh tuyên bố của mình với B theo cách không hiểu biết ...

Có một số vấn đề hoàn chỉnh NP tiêu chuẩn, như mức độ thỏa mãn (SAT), Độ tin cậy của đồ thị và Đồ thị-3-Màu sắc (G3C), trong đó tồn tại bằng chứng không có kiến thức. Cách tiêu chuẩn để chứng minh bất kỳ định lý NP nào là trước tiên giảm nó thành một trường hợp của các vấn đề hoàn thành NP đã nói ở trên, sau đó tiến hành chứng minh không có kiến thức.

Câu hỏi này liên quan đến việc giảm như vậy. Giả sử rằng P so với NP được giải quyết theo bất kỳ cách nào sau đây:

P = NP
P ≠ NP
P so với NP độc lập với lý thuyết tập hợp tiên đề tiêu chuẩn.

Hãy biểu thị bằng chứng. Sau đó, P so với NP là trong một ngôn ngữ NP (vì tồn tại một bằng chứng ngắn cho nó). Việc giảm từ định lý (giả sử P ≠ NP) sang bài toán hoàn thành NP (nói SAT) là độc lập với. Đó là:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Điều này là ngoài sức tưởng tượng của tôi! Dường như, ngay cả khi chúng ta được đưa ra bằng chứng, không có khả năng chúng ta có thể xây dựng công thức như vậy.

Bất cứ ai có thể làm sáng tỏ về điều này?

Ngoài ra, hãy để L là ngôn ngữ NP trong đó P so với NP nằm. Ngôn ngữ bao gồm vô số định lý như P so với NP , có kích thước tùy ý.

Một ứng cử viên cho L là gì?
L có thể hoàn thành NP không?

— MS Dousti
nguồn

Tôi không nhận được phần này: "Hãy biểu thị bằng chứng. Sau đó, P so với NP nằm trong NP (vì tồn tại một bằng chứng ngắn cho nó). Việc giảm từ định lý (giả sử P ≠ NP) sang NP Vấn đề hoàn thành (nói SAT) không phụ thuộc vào σ. Nghĩa là: Tồn tại một công thức thỏa đáng khi và chỉ khi P ≠ NP. ". Bạn có thể vui lòng giải thích thêm một chút? Điều đó không có nghĩa với tôi rằng "P vs NP nằm trong NP", ngay cả khi bạn thay đổi nó thành "có bằng chứng về độ dài tối đa n trong lý thuyết T cho P \ neq NP". Hoặc có một n nhỏ nhất như vậy có bằng chứng về kích thước đó cho câu hỏi hoặc không có bằng chứng nào như vậy.

— Kaveh

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$

@Kaveh: Đã làm rõ thêm.

— MS Dousti

một số ý tưởng thú vị nhưng thật vô nghĩa khi nói "bằng chứng là trong NP" hoặc "tồn tại một bằng chứng ngắn". tức là có thể có một số phương pháp tạo ra những tương đồng đó nhưng nó sẽ phải được định nghĩa chính thức hơn. Dường như gần nhất với những ý tưởng này, dường như, sẽ là khung chứng minh tự nhiên razborov / rudich.

— vzn

Câu trả lời:

Cách để xem thử nghiệm một câu lệnh toán học (ví dụ: độ phân giải của P so với NP) dưới dạng câu hỏi có dạng "là công thức .. thỏa đáng" là như sau:

Sửa một số hệ tiên đề. Cho một chuỗi có độ dài n, cho dù chuỗi đó là bằng chứng cho câu lệnh toán học trong hệ tiên đề, là điều mà người ta có thể định nghĩa theo cách đơn giản: chuỗi nên bao gồm các mệnh đề. Mỗi mệnh đề nên là một tiên đề hoặc nên tuân theo các mệnh đề trước bởi một trong các quy tắc suy luận.

Đây không phải là vấn đề để xác định công thức Boolean xác minh tất cả điều này. Tất cả những gì bạn nên biết là độ dài n của bằng chứng!

— Dana Moshkovitz
nguồn

P so với NP nằm trong NP (vì tồn tại một bằng chứng ngắn cho nó)

Điều đó không có ý nghĩa nhiều với tôi. NP là một lớp phức tạp cho các vấn đề quyết định có các trường hợp lớn tùy ý và P so với NP không có chúng. Từ những gì bạn nói sau:

Đặt L là ngôn ngữ NP trong đó P so với NP nằm.

thay vào đó, bạn có thể có nghĩa là P so với NP là một ví dụ của vấn đề NP; nhưng tất nhiên rồi! Nó cũng là một ví dụ về vô số các vấn đề P, DTIME (n), v.v. Cụ thể, đây là hai ứng cử viên DTIME (1) cho L, chính xác một trong số đó là chính xác: luôn luôn trả về true; hoặc luôn luôn trở về false.

— Alexey Romanov
nguồn

Xin vui lòng đọc ghi chú bên đầu câu hỏi một lần nữa. Tôi đã đặt điều này một cách không chính thức, và điều đó dẫn đến sự nhầm lẫn của bạn. Để chính thức hóa, người ta phải xem xét khái quát hóa định lý "P so với NP". Đối với vô số n, việc khái quát hóa giả định một định lý về độ dài n. Các định lý làm phát sinh ngôn ngữ L, không thể quyết định trong DTIME (1).

— MS Dousti

Sau đó, một bằng chứng ngắn / không bảo vệ "P so với NP" chỉ là một trường hợp của "P tổng quát so với NP" (có lẽ là một điều dễ dàng?), Và nó không tuân theo GPvNP trong NP.

— Alexey Romanov

Từ chối: Tôi hiểu sự phản đối đối với cách phát biểu của câu trích dẫn đầu tiên, vì các thành viên của NP là tập hợp và "P so với NP" không phải là một tập hợp. Tuy nhiên, trên phản đối thứ hai, bất kỳ "vấn đề NP" nào cũng là một vấn đề quyết định luôn có thể được đưa ra một cách hợp pháp khi quyết định xem một chuỗi có trong ngôn ngữ hay không; Tôi không thấy có gì sai với định nghĩa của anh ấy về L. Hơn nữa, sự hấp dẫn đối với các ngôn ngữ DTIME (1) tầm thường, luôn luôn đúng hoặc luôn sai sẽ bỏ qua vấn đề: Nếu chúng ta đã biết TẤT CẢ các tuyên bố đúng, có lẽ chúng ta xây dựng một cái nhìn- lên bảng để máy Turing truy cập thời gian không đổi.

— Daniel Apon

[Tiếp tục] Nhưng giả sử L là một ngôn ngữ phù hợp (nghĩa là một tập hợp vô hạn), thì bạn đang giả sử một bảng "tuyên bố đúng" vô cùng lớn để truy cập, dường như phá vỡ mọi loại quy tắc. Hoặc hơn thế nữa: Tại sao đối số của bạn đối với DTIME (1) không khái quát hóa với BẤT CỨ ngôn ngữ nào, không chỉ là ngôn ngữ kỳ lạ mà chúng ta đang xem xét bây giờ?

— Daniel Apon

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$