Có bất kỳ vấn đề mở nào còn lại về DFA không?

Sau khi nghiên cứu automata trạng thái hữu hạn xác định (DFA) trong chương trình đại học, tôi cảm thấy chúng được hiểu rất rõ. Câu hỏi của tôi là liệu có điều gì chúng ta vẫn không hiểu về chúng. Tôi không có nghĩa là khái quát hóa các DFA nhưng các DFA ban đầu chưa được sửa đổi mà chúng tôi nghiên cứu ở đại học.

Đây là một câu hỏi mơ hồ nhưng tôi hy vọng bạn có được ý tưởng. Tôi muốn hiểu nếu công bằng mà nói rằng chúng tôi hoàn toàn hiểu DFA. Vì vậy, tôi thực sự muốn nói đến những câu hỏi vốn có về DFA, chứ không phải những vấn đề được tạo ra một cách giả tạo để trông giống như một vấn đề về DFA. Hãy để tôi đưa ra một ví dụ về một vấn đề như vậy. Đặt L là ngôn ngữ trống nếu P = NP và một số ngôn ngữ không cố định nếu P không phải là NP. L có thể được chấp nhận bởi DFA không? Câu hỏi này là về DFA, nhưng nó không phải là về tinh thần. Tôi hy vọng quan điểm của tôi là rõ ràng và tôi không nhận được câu trả lời phi lý từ mọi người.

Nói tóm lại là công bằng mà nói

Chúng tôi hoàn toàn hiểu DFA.

Tôi xin lỗi nếu hóa ra đây là một lĩnh vực nghiên cứu khổng lồ mà tôi không biết và tôi vừa xúc phạm cả một cộng đồng người.

Đây là một vấn đề được mô tả trong cuốn sách "Một khóa học thứ hai về ngôn ngữ chính thức và lý thuyết tự động" của Shallit.

Đặt và là hai từ riêng biệt với . Kích thước của DFA nhỏ nhất chấp nhận nhưng từ chối , hoặc ngược lại là gì?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, trong bài viết " Tách chuỗi bằng automata nhỏ " năm 1989 đã chứng minh một giới hạn trên . Giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất trong .$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Đối với một cuộc khảo sát xem điều này .

Đây là một vấn đề quyết định rất đơn giản về DFA. Cho một DFA M, M có chấp nhận đại diện cơ sở 2 của ít nhất một số nguyên tố không?

Hiện tại, chúng tôi thậm chí không biết liệu vấn đề này có thể giải quyết được đệ quy hay không.

Nếu nó có thể giải được đệ quy và chúng tôi có một thuật toán cho nó, chúng tôi có thể giải quyết vấn đề mở từ lâu về việc liệu có bất kỳ số nguyên tố Fermat nào (các số nguyên tố có dạng ) lớn hơn số lớn nhất được biết không, 65537. (Bởi vì bất kỳ số nguyên tố nào có đại diện cơ sở 2 có dạng đều phải là số nguyên tố Fermat.)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

Phỏng đoán Černý vẫn còn mở và quan trọng. Đó là về các DFA có một từ đồng bộ hóa (một từ có thuộc tính là hai bản sao của máy tự động bắt đầu ở các trạng thái khác nhau luôn kết thúc ở cùng một trạng thái với nhau sau khi cả hai xử lý từ đó) và hỏi liệu (đối với -state automata) độ dài của từ ngắn nhất như vậy luôn luôn nhiều nhất ( n - 1 ) 2 . Các giới hạn được chứng minh tốt nhất có dạng O ( n 3 ) .$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Tôi muốn chỉ ra một vấn đề nghiên cứu khác, liên quan đến sự tương tác của các khái niệm rất cơ bản về DFA.

Người ta biết rằng bất kỳ NFA trạng thái n nào cũng có thể được chuyển đổi thành một DFA tương đương có tối đa trạng thái. Điều này là tốt nhất có thể trong trường hợp xấu nhất, theo nghĩa là có các ngôn ngữ thông thường về độ phức tạp trạng thái không xác định n (nghĩa là số lượng trạng thái trong một NFA tối thiểu), nhưng có độ phức tạp trạng thái xác định 2 n . Ngoài ra còn có các ví dụ về các gia đình ngôn ngữ, trong đó chủ nghĩa không điều kiện có thể cứu được một yếu tố bậc hai, và các trường hợp mà chủ nghĩa không điều kiện không giúp gì để cứu bất kỳ trạng thái nào cả. Do đó, một câu hỏi tự nhiên là như sau:$2^n$$2^n$

Vấn đề số ma thuật

Có, cho mỗi giữa n và 2 n , một ngôn ngữ thường xuyên L n như vậy mà khoảng cách giữa sự phức tạp tình trạng không xác định và tính phức tạp nhà nước xác định là chính xác α ?$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

Nếu chúng ta hoàn toàn hiểu về cấu trúc powerset và mối quan hệ Myhill-Nerode từ góc độ toán học, thì tôi sẽ hy vọng rằng người ta có thể xây dựng các ngôn ngữ như vậy cho mỗi , hoặc cách khác là chỉ định các giá trị của α mà điều này là không thể (nếu những giá trị như vậy tồn tại, chúng được gọi là "số ma thuật").$\alpha$$\alpha$

Được biết, có những con số ma thuật cho kích thước bảng chữ cái đầu vào , và kể từ năm 2009, không có con số ma thuật nào nếu kích thước bảng chữ cái ít nhất là 3 . Nhưng nếu tôi không nhầm, trường hợp bảng chữ cái nhị phân vẫn mở.$1$$3$

Galina Jirásková. Số ma thuật và bảng chữ cái ternary. Trong: Hội nghị quốc tế về phát triển lý thuyết ngôn ngữ lần thứ 13 (DLT 2009), tập 5583 của Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính, trang 300 Chuyện311.

Tiêu đề: Giao lộ không trống rỗng cho hai DFA

Mô tả: Cho hai DFA của và D 2 , không có tồn tại một chuỗi x như vậy mà D 1 và D 2 cả hai chấp nhận x ?$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Vấn đề mở: Chúng ta có thể giải quyết sự không trống giao nhau trong hai DFA trong thời gian không?$o(n^2)$

Nếu chúng ta có thể giải quyết vấn đề này trong thời gian trong đó δ <2, thì giả thuyết thời gian theo cấp số nhân mạnh mẽ sẽ bị bác bỏ.$O(n^{\delta})$$\delta$

Giải thích: Quyết định sự trống rỗng của giao điểm của các ngôn ngữ thông thường trong thời gian phụ

Bạn có thể thấy điều này hữu ích: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Có một ngày tuyệt vời! :)

Đây là một vấn đề mở liên quan đến DFA và lý thuyết học máy: có ngẫu nhiên thống nhất (chuyển đổi ngẫu nhiên và hành vi chấp nhận / từ chối) DFA có thể học được trong mô hình PAC không?

Lưu ý: chúng tôi nghĩ rằng DFA tùy ý không thể học được b / c về kết quả độ cứng mật mã . Đối với DFA ngẫu nhiên, chúng tôi chỉ có giới hạn thấp hơn , không mạnh bằng.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

Dường như với tôi rằng một công thức dạng đóng nên tồn tại, nhưng không có công thức nào được biết đến. Một số giới hạn tiệm cận được biết đến:

$n$

Đây là một câu hỏi liên quan đến DFA tôi đã ở đây trước đây và nó vẫn mở cho đến khi tôi biết:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Câu hỏi này có ý nghĩa đối với học máy .

("suy nghĩ bên ngoài" ...) đây là một vấn đề hơi khó hiểu liên quan đến các DFA (chưa thấy nó nghiên cứu ở nơi khác) nhưng thể hiện một chủ đề trong TCS rằng thậm chí nhiều đối tượng tính toán "đơn giản" (như DFA) có thể có các thuộc tính phức tạp , cũng là một khía cạnh / chủ đề được thể hiện trong định lý Rices. (trong một số cách, "độ phức tạp" cuối cùng là "không thể giải quyết được" hay còn gọi là tính đầy đủ của Turing.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, cũng là một RL (và DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

bây giờ, để giải quyết vấn đề này nhiều hơn với câu hỏi, trong khi điều này không được chú ý rộng rãi (được coi là tầm thường bởi một số người), nhiều vấn đề mở trong TCS / toán học được liên kết chặt chẽ với sự không thể giải quyết được trong đó đưa ra một lời tiên tri cho vấn đề tạm dừng, chúng có thể là " đã giải quyết ".

do đó, theo một nghĩa nào đó, việc kết hợp tất cả lại với nhau bằng cách sử dụng vấn đề cơ bản này về các DFA không thể giải quyết được, sẽ luôn có những vấn đề mở về DFA, bởi vì sẽ luôn có những vấn đề "mở" về DFA (như vấn đề này) tương đương với những vấn đề không thể giải quyết được . trong thực tế, sử dụng định lý Rices ngược lại khi việc xây dựng này thực hiện theo một số cách, về cơ bản, bất kỳ thuộc tính tính toán tương đối "đơn giản" nhưng không cần thiết nào trong TCS đều có thể được sử dụng để xây dựng các vấn đề không thể giải quyết được.

[1] Các vấn đề về từ đòi hỏi thời gian theo cấp số nhân / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR và L. Stockmeyer. Bài toán tương đương cho các biểu thức chính quy với bình phương đòi hỏi không gian theo cấp số nhân. Hội thảo chuyên đề về chuyển mạch và lý thuyết tự động lần thứ 13, tháng 10 năm 1972, tr.125 từ 129.

[3] Giới thiệu về ngôn ngữ, automata và tính toán / Hopcroft / Ullman.