Mã vạch của đồ thị

Sử dụng tương đồng liên tục, chúng ta có thể phân tích hình dạng (tôpô) của đám mây điểm bằng phương pháp ba bước sau:

• chuyển đổi điểm được đặt thành một phức hợp đơn giản (và có một vài cách khác nhau để thực hiện việc này) được tham số hóa bằng tham số "nhiễu"
• Tính toán các nhóm tương đồng của phức hợp này (một lần nữa được tham số hóa bởi tham số)
• nhìn vào sự tiến hóa của các nhóm khi tham số tiến hóa.

"Thời gian sống" của các nhóm khác nhau trông giống như một tập hợp các khoảng, được gọi là "mã vạch" của hình dạng.

Có một lời giải thích dễ dàng về mã vạch trông như thế nào nếu phức tạp đơn giản chỉ là một bộ xương 1 (tức là đồ thị)? Nói cách khác, giả sử chúng ta bắt đầu với một biểu đồ (chứ không phải là một tập hợp điểm) và sau đó thực hiện hai bước còn lại như trên.

Betti-0 sẽ là một khoảng cho mỗi đỉnh, với một trong các khoảng có liên quan biến mất bất cứ khi nào một cạnh kết nối hai thành phần. Điều này sẽ rất giống với dấu vết của Tìm kiếm Liên minh đang chạy trên biểu đồ.

Betti-1 sẽ là một khoảng cho mỗi vòng khép kín thiết yếu; tương ứng với một cơ sở cập nhật đang chạy cho Không gian Chu kỳ . Vì nó là một biểu đồ, chúng sẽ xuất hiện bất cứ khi nào một cạnh được thêm vào mà không kết nối hai thành phần rời rạc và không bao giờ biến mất nữa.

Biểu đồ đã là một phức hợp đơn giản bao gồm 0 và 1 đơn giản (các nút và cạnh). Biểu diễn mã vạch chỉ có ý nghĩa khi phức hợp đơn giản được xây dựng từng bước sao cho phức ở bước k là tập con của phức ở bước k + 1 tức là các đỉnh và cạnh được chèn vào nó theo một số thứ tự.

Giả sử rằng các đỉnh được thêm vào "thời gian" / "giá trị tham số" 0 và tất cả các cạnh được thêm vào "thời gian" / "giá trị tham số" 1: mã vạch betti_0 sẽ chỉ là một tập hợp các dòng biểu thị số lượng thành phần tách rời của biểu đồ và betti_1 sẽ chỉ là một tập hợp các dòng biểu thị cho mỗi vòng lặp "cơ bản" trong biểu đồ (xem không gian chu kỳ của biểu đồ).

Có một số cách xây dựng các hàm thứ tự như vậy trên biểu đồ, ví dụ tính toán bất kỳ hàm nào trên các đỉnh (giả sử mức độ của bất kỳ đỉnh nào) và nói rằng các đỉnh có độ thấp hơn được 'sinh ra' trước các đỉnh có độ cao hơn. Bây giờ nói rằng một cạnh được thêm vào bất cứ khi nào cả hai đỉnh tồn tại. Bây giờ, bạn có thể xây dựng một chế độ xem tương đồng liên tục của biểu đồ đã cho dưới phân phối độ. Nhiều chức năng khác như vậy có thể được xây dựng, ví dụ như pagerank, laplacians, v.v.

Những gì được nói ở trên là chính xác nhưng tôi sẽ thêm một nếp nhăn thú vị nên được biết đến nhiều hơn.

Nếu bạn sử dụng khoảng cách biểu đồ làm tham số kiên trì và sau đó tính toán độ bền của phức Rips, bạn thực sự có thể tìm thấy tương đồng chiều cao hơn. Ví dụ, các số betti bền vững cho N điểm không gian bằng nhau trên một vòng tròn trông như sau:

$$\begin{array}{*{27}{l}} N & b1 & b2 & b3 & b4 & b5 & b6 & b7 & b8 & b9 & b10 & b11 & b12 \\ 3 & & & & & & & & & & & \\ 4 & 1 & & & & & & & & & & \\ 5 & 1 & & & & & & & & & & \\ 6 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ 7 & 1 & & & & & & & & & & \\ 8 & 1 & 0 & 1& & & & & & & & & \\ 9 & 1 & 2 & & & & & & & & & \\ 10 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 11 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 12 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & & & & & & \\ 13 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & & \\ 14 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & & & & \\ 15 & 1 & 4 & 0 & 2 & & & & & & & & \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 &1 & & & & \\ 17 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & & & & & & & \\ 18 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & & & \\ \end{array}$$

(trong đó số betti kiên trì chỉ có nghĩa là đếm số lượng thanh có độ dài bất kỳ xuất hiện trong mỗi thứ nguyên)

Sự khác biệt giữa tình huống này và câu hỏi được hỏi là tôi không lọc biểu đồ - thay vào đó tôi vẫn tồn tại trên không gian số liệu trừu tượng được nhận ra bởi khoảng cách cạnh của biểu đồ.