Độ phức tạp của phép tính biến đổi đồ thị

Phép đồng hình từ đồ thị sang đồ thị là ánh xạ từ đến sao cho nếu và liền kề trong thì và liền kề trong . Một phép biến hình của đồ thị là sự đồng hình từ đến chính nó; nó là điểm không cố định nếu không có sao cho và nó không tầm thường nếu nó không phải là danh tính.G ' = ( V ' , E ' ) f V V ' x y E f ( x ) f ( y ) E $G = (V, E)$$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$$x$$y$$E$$f(x)$$f(y)$$E'$$G$$G$f ( x ) = $x$$f(x) = x$

Gần đây tôi đã hỏi một câu hỏi liên quan đến poset (và đồ thị) tự đẳng , có nghĩa là, endomorphisms song ánh mà ngược lại cũng là một tự đồng cấu. Tôi đã tìm thấy công việc liên quan về việc đếm (và quyết định sự tồn tại của) tự động hóa, nhưng tìm kiếm tôi không thể tìm thấy bất kỳ kết quả nào liên quan đến endomorphism.

Do đó, câu hỏi của tôi: sự phức tạp, được đưa ra một biểu đồ , quyết định sự tồn tại của một biến đổi nội sinh không tầm thường của , hoặc đếm số lượng các biến thái nội sinh là gì? Câu hỏi tương tự với endomorphism cố định điểm miễn phí.$G$$G$

Tôi nghĩ rằng đối số được đưa ra trong câu trả lời này mở rộng đến endomorphism và biện minh rằng trường hợp đồ thị lưỡng cực có hướng, hoặc đặt, không dễ hơn vấn đề đối với đồ thị chung (vấn đề đối với đồ thị chung giảm cho trường hợp này), nhưng độ phức tạp của nó không có vẻ đơn giản để xác định. Người ta biết rằng việc quyết định sự tồn tại của một đồng cấu từ biểu đồ này sang biểu đồ khác là NP-hard (điều này rõ ràng vì nó khái quát hóa màu đồ thị), nhưng có vẻ như việc hạn chế tìm kiếm đồng cấu từ biểu đồ sang chính nó có thể làm cho vấn đề dễ dàng hơn, Vì vậy, điều này không giúp tôi xác định sự phức tạp của những vấn đề này.

Đếm endomorphisms hoặc endomorphisms điểm cố định miễn là hoàn chỉnh cho : cho một đồ thị liên thông G , hãy xem xét đồ thị G ' mà là sự kết hợp rời nhau của G và một hình tam giác. Sau đó | End ( G ' ) | = ( | Kết thúc ( G ) | + # 3 C O L ( G ) ) ( # { tam giác trong  G } + 3 3$\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$$G$$G'$$G$$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$, do đó, có thể được tính bằng cách sử dụng hai tổng số biến đổi (và theo kết quả chung, thậm chí chỉ một lần duy nhất) và một số xử lý hậu kỳ nhiều thời gian. Lưu ý rằng số lượng hình tam giác có thể được tính theo thời gian khối (hoặc thậm chí nhân ma trận). Phương trình tương tự cũng cho điểm cố định endomorphisms miễn phí, kể từ khi 3 chất tạo màu, hình tam giác là endomorphisms điểm cố định miễn phí của G ' .$\# 3COL$$G'$

Nếu bạn muốn được kết nối, bạn có thể làm như sau. Đầu tiên lưu ý rằng việc đếm các biến đổi đồ thị có màu của đỉnh (trong đó các đỉnh của màu c chỉ có thể được ánh xạ tới các đỉnh khác của màu c ) tương đương với việc đếm các biến đổi của đồ thị, như sau. Đặt các màu là { 1 , . . . , C } . Đối với mỗi đỉnh v của màu c , thêm vào một chu kỳ lẻ khác nhau C v có kích thước ít nhất là n + 2 c ( n = | V $G'$$c$$c$$\{1,...,C\}$$v$$c$$C_v$$n + 2c$) và kết nối một đỉnh của C v với v . Mỗi phép biến hình của G tương ứng với 2 n phép biến hình của đồ thị mới (đối với mỗi chu kỳ, bạn có hai lựa chọn về cách ánh xạ nó). Lưu ý rằng không có đỉnh G nào có thể ánh xạ tới các đỉnh của bất kỳ C v nào , vì các chu kỳ quá lớn (bạn phải có thể điều chỉnh một chu kỳ bên trong một chu kỳ khác, mà bạn không thể cho các chu kỳ lẻ).$n=|V(G)|$$C_v$$v$$G$$2^n$$G$$C_v$

Bây giờ, để tạo ra một phiên bản của được kết nối, chúng ta bắt đầu với một phiên bản màu, và sau đó áp dụng việc chuyển đổi trên. Bắt đầu như trước, bằng cách thêm vào G thiếu liên kết tam giác Δ . Bây giờ thêm một đỉnh mới đơn v 0 được kết nối với tất cả các đỉnh trong G ∪ delta . Màu v 0 đỏ và tất cả các đỉnh khác màu xanh.$G'$$G$$\Delta$$v_0$$G \cup \Delta$$v_0$